WebMath

Условие равновесия тела

Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий

Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии

Если тело покоится относительно инерциальной системы отсчета, то считают, что оно находится в состоянии равновесия. Исследование условий равновесия тел имеет большое прикладное значение для конструирования зданий, сооружений, машин и механизмов.

Условия равновесия изучает такой раздел физики как статика.

Первое условие равновесия тел

Первое условие равновесия сформулируем, опираясь на второй закон Ньютона, который говорит о том, что в инерциальной системе отсчета тело движется равномерно и прямолинейно или покоится, если равнодействующая всех сил, приложенных к этому телу (материальной точке) равна нулю. Следовательно, первое условие равновесия запишем как:

\[\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i=0\left(1\right).}\]

Формула (1) говорит о том, что для того чтобы тело находилось в состоянии равновесия, необходимо равенство нулю суммы, действующих на него сил.

Второе условие равновесия тела

Если тело нельзя принять за материальную точку, то первого условия равновесия будет недостаточно. Так, если на стержень действуют две равный по величине, но противоположные по направлению силы (${\overline{F}}_1\ и{\ \overline{F}}_2\ $) рис.1, то стержень может поворачиваться вокруг своей оси, что означает: он не находится равновесии.

Условие равновесия тела, рисунок 1

Для формулировки второго условия равновесия следует обратиться к такой физической величине, как момент силы ($\overline{M}$):

\[\overline{M}=\overline{r}\times \overline{F\ }\left(2\right),\]

где $\overline{r}\times \overline{F\ }$ - векторное произведение; $\left|\overline{M}\right|=\left|\overline{r}\right|\cdot \left|\overline{F\ }\right|{\sin \widehat{\overline{r},\overline{F\ }}\ }$; $\widehat{\overline{r},\overline{F\ }}$ - угол между вектором силы и радиус-вектором ($\overline{r}$), который проведен от точки вращения к точке приложения силы. Направление вектора момента силы определяют по правилу правого винта (Правый винт вращают от вектора $\overline{r}\ $к вектору $\overline{F\ }$ по кратчайшему расстоянию, при этом поступательное движение винта указывает направление вектора момента силы).

Тело, которое имеет возможность вращаться вокруг неподвижной оси, находится в состоянии равновесия, если сумма моментов всех действующих на него сил относительно любой оси вращения равна нулю:

\[\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{M}}_i=0\left(3\right).}\]

Второе условие равновесия называют правилом моментов сил.

Условия равновесия тел дают возможность определить, какой выигрыш в силе получается при использовании простых механизмов, которые применялись еще в древние времена, например, рычага. Рычаг является элементом многих орудий труда: ножниц, стрелы подъемного крана, ручного тормоза и т.д. Из второго условия равновесия рычага можно получить выражение:

\[\frac{F_1}{F_2}=\frac{d_2}{d_1}\left(4\right),\]

где $d_1$; $d_2$ - плечи рычага; $F_1$; $F_2$ - силы, действующие на плечи рычага. Из выражения (4) очевидно, что рычаг может обеспечить выигрыш в силе в $\frac{d_2}{d_1}$ раз.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание: Балка массой $m$, имеющая длину $l$ лежит на двух опорах (рис.2). Какая сила давления действует на каждую из опор? Считать, что расстояние $l_1$ известно.

Условие равновесия тела, пример 1

Решение: Рассмотрим рис.2. Обозначим силы, которые действуют на балку. Это сила тяжести ($m\overline{g}$), силы реакции опор ${\overline{N}}_1$ и ${\overline{N}}_2$. Балка находится в состоянии равновесия, следовательно, из первого условия равновесия имеем:

\[m\overline{g}+{\overline{N}}_1+{\overline{N}}_2=0\ \left(1.1\right).\]

В проекции на ось Y уравнение (1.1):

\[N_1+N_2-mg=0\ \left(1.2\right).\]

Для записи второго условия равновесия балки выберем в качестве оси вращения, ось, проходящую через первую опору. Моменты сил проектируем на ось X, перпендикулярную плоскости рисунка (рис.2). Тогда моменты сил равны:

\[{\overline{M}}_1={\overline{r}}_1\times {\overline{N}}_1=0\ \left(1.3\right),\]

так как расстояние от точки вращения до точки приложения силы ($\left|{\overline{r}}_1\right|=0$) равно нулю.

\[{\overline{M}}_2={\overline{r}}_2\times {\overline{N}}_2;;\ M_{x2}=\left(l-l_1\right)N_{2\ }\left(1.4\right),\]

где угол между ${\overline{r}}_2и\ {\overline{N}}_2$ равен 900; $\left|{\overline{r}}_2\right|=l-l_1$.

Сила тяжести приложена к центру тяжести балки, если она однородна, то цент тяжести находится на середине длины балки, получаем:

\[{\overline{M}}_3={\overline{r}}_3\times m\overline{g};;\ M_{x3}=-mg\left(\frac{l}{2}-l_1\right)\left(1.5\right),\]

Моменты сил направлены вдоль оси X. По второму условию равновесия имеем:

\[M_{x2}+M_{x3}=0\to \left(l-l_1\right)N_{2\ }-mg\left(\frac{l}{2}-l_1\right)=0\ \left(1.6\right).\]

Из выражения (1.6) найдем $N_{2\ }$:

\[N_{2\ }=\frac{mg\left(l-2l_1\right)}{2\left(l-l_1\right)}\left(1.7\right).\]

Подставим (1.7) в формулу (1.2), выразим $N_{1\ }$:

\[N_1+\frac{mg\left(l-2l_1\right)}{2\left(l-l_1\right)}-mg=0\to N_1=\frac{mgl}{2\left(l-l_1\right)}.\]

По третьему закону Ньютона силы давления на опоры равны по величине реакциям соответствующих опор:

\[F_1=N_1=\frac{mgl}{2\left(l-l_1\right)};;\ F_2=N_2=\frac{mg\left(l-2l_1\right)}{2\left(l-l_1\right)}.\]

Ответ: $F_1=\frac{mgl}{2\left(l-l_1\right)};;\ F_2=\frac{mg\left(l-2l_1\right)}{2\left(l-l_1\right)}$

   

Пример 2

Задание: В каком месте следует толкать тяжелую дверь, чтобы прикладывать минимум усилий для ее открытия?

Решение: Тяжелую дверь лучше толкать около ручки, так мы применяем условие рычага:

\[\frac{F_1}{F_2}=\frac{d_2}{d_1}\left(2.1\right),\]

где $d_1$; $d_2$ - плечи рычага; $F_1$; $F_2$ - силы, действующие на плечи рычага. Из формулы (2.1) следует, что рычаг может обеспечить выигрыш в силе в $\frac{d_2}{d_1}$ раз.

   

Читать дальше: центр тяжести тела.

Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий

Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии

Читать дальше: Второй закон Ньютона