Задание. Одно тело бросили вертикально вверх с начальной скоростью равной $v_0.$ В этот же момент времени вертикально вниз с начальной скоростью $v_0$ бросили второе тело. Высота, с которой бросили это тело равно высоте максимального подъема первого тела. Какова скорость первого и второго тел в момент встречи этих двух тел? Тела считайте материальными точками, сопротивление воздуха не учитывать.
Решение. Сделаем рисунок.
За основу решения задачи примем уравнение для скорости движения тела в поле тяжести Земли:
\[\overline{v}\left(t\right)={\overline{v}}_0+\overline{g}t\ \left(2.1\right).\]
Для первого тела уравнение (2.1) в проекции на ось Y будет иметь вид:
\[v_1=v_0-gt\ \left(2.2\right).\]
Уравнение скорости второго тела при его падении выглядит как:
\[{-v}_2=-v_0-gt\ \left(2.3\right).\]
Для решения задачи будем использовать кинематическое уравнение для перемещения тела с постоянным ускорением:
\[\overline{s}\left(t\right)={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2}\left(2.4\right).\]
В проекции на ось Y это уравнение для первого тела, поднимающегося вверх, даст выражение:
\[y_1=v_0t-\frac{gt^2}{2}\left(2.5\right).\]
Для второго тела при его падении в проекции на ось Y (2.4) запишется как:
\[y_2=h-v_0t-\frac{gt^2}{2}\left(2.6\right).\]
Найдем время встречи тел ($t'$) из системы уравнений (2.5) и (2.6), учитывая, что при встрече тел $y_1=y_2$:
\[v_0t'-\frac{g{t'}^2}{2}=h-v_0t'-\frac{g{t'}^2}{2}\to 0=h-2v_0t'\to t'=\frac{h}{2v_0}\left(2.7\right).\]
Подставим время $t'$ в уравнение (2.2) получим скорость первого тела в момент встречи:
\[v_1=v_0-g\frac{h}{2v_0}\left(2.8\right).\]
Найдем высоту $h$, на которую способно подняться первое тело. Для этого найдем время подъема тела, зная, что в точке максимального подъема скорость тела равна нулю:
\[v_1=v_0-gt=0\to t_{pod}=\frac{v_0}{g}\left(2.9\right).\]
Высота подъема, она же высота с которой бросили второе тело найдётся из уравнения (2.5), если в него подставить $t_{pod}$:
\[y_1=h=v_0t-\frac{g{t_{pod}}^2}{2}=v_0\frac{v_0}{g}-\frac{g}{2}\frac{v^2_0}{g^2}=\frac{v^2_0}{2g}\left(2.10\right).\]
Подставляя вместо $h$ правую часть уравнения (2.10) в формулу (2.8) получим скорость движения первого тела в его момент встречи со вторым телом:
\[v_1=v_0-g\frac{v^2_0}{2g}\frac{1}{2v_0}=\frac{3}{4}v_0.\]
Используя уравнение (2.3), подставляя в нее время встречи тел ($t'$) из (2.7), учитывая (2.10) получим скорость движения второго тела в момент встречи:
\[v_2=v_0+gt=v_0+g\frac{1}{2v_0}\frac{v^2_0}{2g}=v_0+\frac{v_0}{4}=\frac{5}{4}v_0.\]
Ответ. $v_1=\frac{3}{4}v_0,$ $v_2=\frac{5}{4}v_0$
