WebMath

Жесткость пружины

Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий

Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии

При воздействии внешних сил тела способны приобретать ускорения или деформироваться. Деформацией называют изменение размеров и (или) формы тела. Если после снятия внешней нагрузки тело восстанавливает свои размеры и форму полностью, то такая деформация называется упругой.

Пусть на пружину на рис.1 действует растягивающая сила, направленная вертикально вниз.

Жесткость пружины, рисунок 1

При воздействии деформирующей силы ($\overline{F}$) длина пружины увеличивается. В пружине возникает сила упругости (${\overline{F}}_u$), которая уравновешивает деформирующую силу. Если деформация небольшая и упругая, то удлинение пружины ($\Delta l$) пропорционально деформирующей силе:

\[\overline{F}=k\Delta l\left(1\right),\]

где в качестве коэффициента пропорциональности выступает жесткость пружины $k$. Коэффициент $k$ называют также коэффициентом упругости, коэффициентом жесткости. Жесткость (как свойство) характеризует упругие свойства тела, подвергаемого деформации - это возможность тела оказывать противодействие внешней силе, сохранять свои геометрические параметры. Коэффициент жесткости является основной характеристикой жесткости.

Коэффициент жесткости пружины зависит от материала, из которого изготовлена пружина, ее геометрических характеристик. Так, коэффициент жесткости витой цилиндрической пружины, которая намотана из проволоки круглого сечения, подвергаемая упругой деформации вдоль своей оси вычисляется при помощи формулы:

\[k=\frac{Gd^4}{8d^3_pn}\left(2\right),\]

где $G$ -модуль сдвига (величина зависящая от материала); $d$ - диаметр проволоки; $d_p$ - диаметр витка пружины; $n$ - количество витков пружины.

Единицы измерения жесткости пружины

Единицей измерения коэффициента жесткости в Международной системе единиц (Си) является ньютон, деленный на метр:

\[\left[k\right]=\left[\frac{F_{upr\ }}{x}\right]=\frac{\left[F_{upr\ }\right]}{\left[x\right]}=\frac{Н}{м}.\]

Коэффициент жесткости равен величине силы, которую следует приложить к пружине для изменения ее длины на единицу расстояния.

Жесткость соединений пружин

При последовательном соединении $N$ пружин жесткость соединения вычисляется при помощи формулы:

\[\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\dots =\sum\limits^N_{\ i=1}{\frac{1}{k_i}\left(2\right).}\]

Если пружины соединены параллельно, то результирующая жесткость равна:

\[k=k_1+k_2+\dots +\sum\limits^N_{i=1}{k_i}\left(3\right).\]

Примеры задач на жесткость пружин

Пример 1

Задание. Какова потенциальная энергия ($E_p$) деформации системы из двух параллельно соединенных пружин (рис.2), если их жесткости равны: $k_1=1000\ \frac{Н}{м}$; $k_2=4000\ \frac{Н}{м}$, а удлинение составляет $\Delta l=0,01$ м.

Жесткость пружины, пример 1

Решение. При параллельном соединении пружин жесткость системы вычислим как:

\[k=k_1+k_2\left(1.1\right).\]

Потенциальную энергию деформированной системы вычислим при помощи формулы:

\[E_p=\frac{k{\left(\Delta l\right)}^2}{2}=\frac{(k_1+k_2){\left(\Delta l\right)}^2}{2}.\]

Вычислим искомую потенциальную энергию:

\[E_p=\frac{\left(1000+4000\right){\left({10}^{-2}\right)}^2}{2}=0,\ 25\ \left(Дж\right).\]

Ответ. $E_p=0,\ 25$ Дж

   

Пример 2

Задание. Чему равна работа ($A$) силы растягивающей систему из двух последовательно соединенных пружин, имеющих жесткости $k_1=1000\ \frac{Н}{м}\ \ и$ $k_2=2000\ \frac{Н}{м}$, если удлинение второй пружины составляет $\Delta l_2=0,\ 1\ м$?

Решение. Сделаем рисунок.

Жесткость пружины, рисунок 2

При последовательном соединении пружин на каждую из них действует одна и та же деформирующая сила ($\overline{F}$), используя этот факт и закон Гука найдем удлинение первой пружины:

\[F=k_1\Delta l_1=k_2\Delta l_2\to \Delta l_1=\frac{k_2\Delta l_2}{k_1}\left(2.1\right).\]

Работа силы упругости при растяжении первой пружины, равна:

\[A_1=\frac{k_1{\Delta l_1}^2}{2}\left(2.2\right).\]

Учитывая полученное в (2.1) удлинение первой пружины имеем:

\[A_1=\frac{k_1{(\frac{k_2\Delta l_2}{k_1})}^2}{2}=\frac{k^2_2{\Delta l_2}^2}{2k_1}\left(2.3\right).\]

Работа второй силы упругости:

\[A_2=\frac{k_2{\Delta l_2}^2}{2}\left(2.4\right).\]

Работа силы, которая растягивает систему пружин в целом, будет найдена как:

\[A=A_1+A_2\left(2.5\right).\]

Подставим правые части выражений (2.3) и (2.4) в формулу (2.5), получаем:

\[A=\frac{k^2_2{\Delta l_2}^2}{2k_1}+\frac{k_2{\Delta l_2}^2}{2}=\frac{k_2{\Delta l_2}^2}{2k_1}\left(k_2+k_1\right).\]

Вычислим работу:

\[А=\frac{2000\cdot {({10}^{-1})}^2}{2\cdot 1000}\left(2000+1000\right)=30\ \left(Дж\right).\]

Ответ. $А$=30 Дж

   

Читать дальше: затухающие колебания.

Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий

Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии

Читать дальше: Второй закон Ньютона