Мощность - это физическая величина, которую использует как основную характеристику любого устройства, которое применяют для совершения работы. Полезная мощность может быть использована для выполнения поставленной задачи.
Формула полезной мощности
Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий
Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Определение и формула полезной мощности
Определение
Отношение работы ($\Delta A$) к промежутку времени за которое она выполнена ($\Delta t$) называют средней мощностью ($\left\langle P\right\rangle $) за это время:
\[\left\langle P\right\rangle =\frac{\Delta A}{\Delta t}\left(1\right).\]Мгновенной мощностью или чаще просто мощностью называют предел отношения (1) при $\Delta t\to 0$:
\[P={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta A}{\Delta t}\ }=A'(t)\left(2\right).\]Приняв во внимание, что:
\[\Delta A=\overline{F}\cdot \Delta \overline{r\ }\left(3\right),\]где $\Delta \overline{r\ }$ - перемещение тела под действием силы $\overline{F}$, в выражении (2) имеем:
\[P={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \left(\frac{\overline{F}\cdot \Delta \overline{r\ }}{\Delta t}\right)\ }=\overline{F}{\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \left(\frac{\Delta \overline{r\ }}{\Delta t}\right)=\ }\overline{F}\cdot \overline{v}\left(4\right),\]где $\ \overline{v}-$ мгновенная скорость.
Коэффициент полезного действия
При выполнении необходимой (полезной) работы, например, механической, приходится выполнять работу большую по величине, так как в реальности существуют силы сопротивления и часть энергии подвержена диссипации (рассеиванию). Эффективность совершения работы определяется при помощи коэффициента полезного действия ($\eta $), при этом:
\[\eta =\frac{P_p}{P}\left(5\right),\]где $P_p$ - полезная мощность; $P$ - затраченная мощность. Из выражения (5) следует, что полезная мощность может быть найдена как:
\[P_p=\eta P\ \left(6\right).\]Формула полезной мощности источника тока
Пусть электрическая цепь состоит из источника тока, имеющего сопротивление $r$ и нагрузки (сопротивление $R$). Мощность источника найдем как:
\[P=?I\ \left(7\right),\]где $?$ - ЭДС источника тока; $I$ - сила тока. При этом $P$ - полная мощность цепи.
Обозначим $U$ - напряжение на внешнем участке цепи, тогда формулу (7) представим в виде:
\[P=?I=UI+I^2r=P_p+P_0\left(8\right),\]где $P_p=UI=I^2R=\frac{U^2}{R}(9)$ - полезная мощность; $P_0=I^2r$ - мощность потерь. При этом КПД источника определяют как:
\[\eta =\frac{P_p}{P_p+P_0}\left(9\right).\]Максимальную полезную мощность (мощность на нагрузке) электрический ток дает, если внешнее сопротивление цепи будет равно внутреннему сопротивлению источника тока. При этом условии полезная мощность равна 50\% общей мощности.
При коротком замыкании (когда $R\to 0;;U\to 0$) или в режиме холостого хода $(R\to \infty ;;I\to 0$) полезная мощность равна нулю.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Коэффициент полезного действия электрического двигателя равен $\eta $ =42%. Какой будет его полезная мощность, если при напряжении $U=$110 В через двигатель идет ток силой $I=$10 А?
Решение. За основу решения задачи примем формулу:
\[P_p=\eta P\ \left(1.1\right).\]Полную мощность найдем, используя выражение:
\[P=IU\left(1.2\right).\]Подставляя правую часть выражения (1.2) в (1.1) находим, что:
\[P_p=\eta IU.\]Вычислим искомую мощность:
\[P_p=\eta IU=0,42\cdot 110\cdot 10=462\ \left(Вт\right).\]Ответ. $P_p=462$ Вт
Пример 2
Задание. Какова максимальная полезная мощность источника тока, если ток короткого замыкания его равен $I_k$? При соединении с источником тока сопротивления $R$, по цепи (рис.1) идет ток силой $I$.
Решение. По закону Ома для цепи с источником тока мы имеем:
\[I=\frac{\varepsilon}{R+r}\left(2.1\right),\]где $\varepsilon$ - ЭДС источника тока; $r$ - его внутреннее сопротивление.
При коротком замыкании считаем, что сопротивление внешней нагрузки равно нулю ($R=0$), тогда сила тока короткого замыкания равна:
\[I_k=\frac{\varepsilon}{r}\ \left(2.2\right).\]Максимальная полезная мощность в цепи рис.1 электрический ток даст, при условии:
\[R=r\ \left(2.3\right).\]Тогда сила тока в цепи равна:
\[I'=\frac{\varepsilon}{r+r}=\frac{\varepsilon}{2r}\left(2.4\right).\]Максимальную полезную мощность найдем, используя формулу:
\[P_{p\ max}={I'}^2r={\left(\frac{\varepsilon}{2r}\right)}^2\cdot r=\frac{\varepsilon^2}{4r}=\frac{\varepsilon^2}{4R}\left(2.5\right).\]Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
\[\left\{ \begin{array}{c} I'=\frac{\varepsilon}{2r}, \\ I_k=\frac{\varepsilon}{r}, \\ P_{p\ max}={\left(I'\right)}^2r \end{array} \left(2.6\right).\right.\]Используя первое и второе уравнения системы (2.6) найдем $I'$:
\[\frac{I'}{I_k}=\frac{\varepsilon}{2r}\cdot \frac{r}{\varepsilon}=\frac{1}{2}\to I'=\frac{1}{2}I_k\left(2.7\right).\]Используем уравнения (2.1) и (2.2) выразим внутреннее сопротивление источника тока:
\[\varepsilon=I\left(R+r\right);;\ I_kr=\varepsilon \to I\left(R+r\right)=I_kr\to r\left(I_k+I\right)=IR\to r=\frac{IR}{I_k-I}\left(2.8\right).\]Подставим результаты из (2.7) и (2.8) в третью формулу системы (2.6), искомая мощность будет равна:
\[P_{p\ max}={\left(\frac{1}{2}I_k\right)}^2\frac{IR}{I_k-I}.\]Ответ. $P_{p\ max}={\left(\frac{1}{2}I_k\right)}^2\frac{IR}{I_k-I}$
Читать дальше: формула равнодействующей всех сил.
Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий
Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Читать дальше: Второй закон Ньютона