Центростремительное ускорение при движении по окружности

Равномерное движение по окружности

Рассмотрим равномерное движение материальной точки по окружности. При равномерном движении величина скорости постоянна ($v=const$). Однако ускорение точки при этом не равно нулю, так как скорость при движении по окружности постоянно изменяет свое направление. Вектор скорости является касательным к траектории, по которой движется точка, то есть является касательной к окружности в рассматриваемой точке

Рассмотрим точки A и B лежащие на окружности по которой движется точка. Вектор изменения скорости при перемещении частицы из А в B равен:

\[\Delta \overline{v}={\overline{v}}_B-{\overline{v}}_A\left(1\right).\]

При бесконечно малом времени движения частицы, между точками A и B, дуга AB примерно равна длине хорды AB. Треугольники AOB и BCD подобны, поэтому получим:

\[\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta l}{R}=\alpha \left(2\right),\]

где R - радиус окружности.

Величину среднего ускорения определим как:

\[\left\langle a\right\rangle =\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v\Delta l}{R\Delta t}\left(3\right).\]

Модуль мгновенного ускорения получаем, переходя к пределу при $\Delta t\to 0\ $ в выражении (3):

\[a={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \left\langle a\right\rangle \ }={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{v\Delta l}{R\Delta t}=\frac{v}{r}\ }\mathop{{\rm lim}}_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta l}{\Delta t}=\frac{v}{R}v=\frac{v^2}{R}\left(4\right).\]

Из формулы (4) следует, что при равномерном движении по окружности величина центростремительного ускорения не изменяется.

Вектор $\overline{\left\langle a\right\rangle }$ имеет с $\overline{v}\ $угол равный$\ \beta $:

\[\beta =\frac{\pi +\alpha }{2}\left(5\right).\]

При $\Delta t\to 0\ $ угол $\alpha \to 0.$ Получаем, что угол между вектором мгновенного ускорения и скорости при равномерном движении по окружности равен $90{}^\circ \ $.

И так, материальная точка, движущаяся с постоянной скоростью по окружности, обладает ускорением, направленным к центру окружности (перпендикулярное вектору скорости), его модуль равен скорости в квадрате, деленной на радиус окружности. Такое ускорение называют центростремительным или нормальным, обозначают его обычно ${\overline{a}}_n$.

\[a_n=\frac{v^2}{R}={\omega }^2R\ \left(6\right),\]

где $\omega $ - угловая скорость движения материальной точки ($v=\omega \cdot R$).

Определение центростремительного ускорения

Центростремительное ускорение можно определить как:

\[{\overline{a}}_n=\frac{v^2}{R^2}\overline{R\ }\left(7\right).\]

Неравномерное движение материальной точки по окружности

Если точка движется по окружности неравномерно, то ее полное ускорение ($\overline{a}$) рассматривают как состоящее из двух частей. Одна из частей - это центростремительное ускорение. Другой составляющей полного ускорения при криволинейном движении служит тангенциальное ускорение (${\overline{a}}_{\tau }$), оно отвечает за изменение величины скорости.

\[\overline{a}={\overline{a}}_{\tau }+{\overline{a}}_n\left(8\right).\] \[a=\sqrt{a^2_n+a^2_{\tau }}\left(9\right).\]

Тангенциальное ускорение определяют как:

\[{\overline{a}}_{\tau }=\frac{d\overline{v}}{dt}\left(10\right).\]

Впервые верные формулы для центростремительного ускорения были получены Х. Гюйгенсом.

Единицей измерения центростремительного ускорения в Международной системе единиц является метр, деленный на секунду в квадрате:

\[\left[a_n\right]=\frac{м}{с^2}.\]

Примеры задач на центростремительное ускорения

Читать дальше: циклическая частота.