Задание. Найти производную функции $y=\frac{(x+2)^{2}(x-4) \sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{5}}$
Решение. Если находить производную данной функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования, то процесс будет очень трудоемким. Производную будем находить с помощью логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем левую и правую части заданной функции:
$$\ln y=\ln \frac{(x+2)^{2}(x-4) \sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{5}}$$Используя свойства логарифмов, преобразуем правую часть полученного равенства к следующему виду:
$$\begin{array}{c} \ln \frac{(x+2)^{2}(x-4) \sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{5}}= \\ =\ln \left[(x+2)^{2}(x-4) \sqrt{x^{2}+1}\right]-\ln \left[(x-2)^{3}(x-4)^{5}\right]= \\ =\ln (x+2)^{2}+\ln (x-4)+\ln \sqrt{x^{2}+1}-\ln (x-2)^{3}-\ln (x-4)^{5}= \\ =2 \ln (x+2)+\ln (x-4)+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)-3 \ln (x-2)-5 \ln (x-4)= \\ =2 \ln (x+2)-4 \ln (x-4)+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)-3 \ln (x-2) \end{array}$$ $$\ln y=2 \ln (x+2)-4 \ln (x-4)+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)-3 \ln (x-2)$$Дифференцируем левую и правую часть последнего равенства, не забывая, что $y$ является функцией переменной $x$:
$$\begin{array}{c} (\ln y)^{\prime}=\left(2 \ln (x+2)-4 \ln (x-4)+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)-3 \ln (x-2)\right)^{\prime} \\ \frac{y^{\prime}}{y}=(2 \ln (x+2))^{\prime}-(4 \ln (x-4))^{\prime}+\left(\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)^{\prime}-\right. \\ -(3 \ln (x-2))^{\prime}=2(\ln (x+2))^{\prime}-4(\ln (x-4))^{\prime}+\frac{1}{2}\left(\ln \left(x^{2}+1\right)\right)^{\prime}- \\ -3(\ln (x-2))^{\prime}=2 \cdot \frac{1}{x+2} \cdot(x+2)^{\prime}-4 \cdot \frac{1}{x-4} \cdot(x-4)^{\prime}+ \\ +\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}+1} \cdot\left(x^{2}+1\right)^{\prime}-3 \cdot \frac{1}{x-2} \cdot(x-2)^{\prime}= \\ =\frac{2}{x+2}-\frac{4}{x-4}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{3}{x-2} \end{array}$$Итак,
$$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{2}{x+2}-\frac{4}{x-4}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{3}{x-2}$$Отсюда
$$y^{\prime}=y\left(\frac{2}{x+2}-\frac{4}{x-4}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{3}{x-2}\right)$$Подставляя вместо функции $y$ ее выражение, окончательно будем иметь, что
$$y^{\prime}=\frac{(x+2)^{2} \sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{4}}\left(\frac{2}{x+2}-\frac{4}{x-4}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{3}{x-2}\right)$$Ответ. $y^{\prime}=\frac{(x+2)^{2} \sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{4}}\left(\frac{2}{x+2}-\frac{4}{x-4}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{3}{x-2}\right)$