Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы
$\Delta=\left|\begin{array}{rr}
3 & -2 \\
1 & 3
\end{array}\right|=9-(-2)=9+2=11 \neq 0$
Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем
матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец
свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут
получаться нули):
$$A=\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\
1 & -2 & 2 & -1 & 0 \\
4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\
2 & 4 & -2 & 4 & -7
\end{array}\right)$$
с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем
первую, от третьей - четыре первых, от четвертой - две первых:
$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\
0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -6 & 6 & 15 & 0 \\
0 & 2 & -2 & 10 & -5
\end{array}\right)$$
Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три
вторых, к четвертой прибавляем вторую:
$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\
0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 9 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 12 & -4
\end{array}\right)$$
От четвертой строки отнимем $$\frac{4}{3}$$ третьей и третью
строку умножим на $$\frac{1}{3}$$ :
$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\
0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$$
Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что
$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\
0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 3 & -1
\end{array}\right)$$
Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а
ко второй строке прибавляем третью:
$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -6 & 0 \\
0 & -2 & 2 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 & -1
\end{array}\right)$$
то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:
$$\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}-6 x_{4}=0 \\
-2 x_{2}+2 x_{3}+5 x_{4}=0 \\
3 x_{4}-x_{5}=0
\end{array}\right.$$
Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:
$$\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=-x_{2}+6 x_{4} \\
x_{2}=x_{2} \\
x_{3}=x_{2}-\frac{5}{2} x_{4} \\
x_{4}=x_{4} \\
x_{5}=3 x_{4}
\end{array}\right.$$
Здесь $x_{2}, x_{4}$ - независимые (или свободные)
переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), $x_{1},x_{3},x_{5}$ - зависимые (связанные) переменные
(то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества
переменных $n$ (в рассматриваемом примере $n=5$ , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы $r$ (в этом
случае получили, что $r=3$ - количество
ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): $n-r=5-3=2$
Так как ранг матрицы $r=3$ , а количество неизвестных
системы $n=5$ , то тогда количество решений в ФСР $n-r=5-3-2$ (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).
Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть
для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки).
В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным
придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными
находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:
$$\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=-x_{2}+6 x_{4} \\
x_{3}=x_{2}-\frac{5}{2} x_{4} \\
x_{5}=3 x_{4}
\end{array}\right.$$
Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения
$x_{2}=1$ , $x_{4}=0$ получаем, что
$\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=-1+6 \cdot 0=-1 \\
x_{3}=1-\frac{5}{2} \cdot 0=1 \\
x_{5}=3 \cdot 0=0
\end{array}\right.$ . Полученные значения записываем в первую
строку таблицы. Аналогично, беря $x_{2}=0$ , $x_{4}=2$, будем иметь, что
$x_{1}=12,x_{3}=-5,x_{5}=6$ , что и определяет второе решение ФСР.
В итоге получаем следующую таблицу:
Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:
$$\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=-1+6 \cdot 0=-1 \\
x_{3}=1-\frac{5}{2} \cdot 0=1 \\
x_{5}=3 \cdot 0=0
\end{array}\right.$$
Общее решение является линейной комбинацией частных решений:
$$X=C_{1} X_{1}+C_{2} X_{2}=C_{1}\left(\begin{array}{r}
-1 \\
1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{r}
12 \\
0 \\
-5 \\
2 \\
6
\end{array}\right)$$
где коэффициенты $C_{1}, C_{2}$ не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:
$\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=-C_{1}+12 C_{2} \\
x_{2}=C_{1} \\
x_{3}=C_{1}-5 C_{2} \\
x_{4}=2 C_{2} \\
x_{5}=6 C_{2}
\end{array}\right.$
$C_{1}, C_{2} \neq 0$
Придавая константам $C_{1}, C_{2}$ определенные значения
и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.