Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений

Задание. Выяснить, имеет ли однородная СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 3 x-2 y=-1 \\ x+3 y=7 \end{array}\right.$ ненулевые решения.

Решение. Вычислим определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin{array}{rr} 3 & -2 \\ 1 & 3 \end{array}\right|=9-(-2)=9+2=11 \neq 0$$

Так как определитель не равен нулю, то система имеет только нулевое решение $x=y=0$

Ответ. Система имеет только нулевое решение.

Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы $\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-3 x_{4}-x_{5}=0 \\ x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=0 \\ 4 x_{1}-2 x_{2}+6 x_{3}+3 x_{4}-4 x_{5}=0 \\ 2 x_{1}+4 x_{2}-2 x_{3}+4 x_{4}-7 x_{5}=0 \end{array}\right.$

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

$$A=\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 & -1 & 0 \\ 4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\ 2 & 4 & -2 & 4 & -7 \end{array}\right)$$

с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей - четыре первых, от четвертой - две первых:

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -6 & 6 & 15 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 10 & -5 \end{array}\right)$$

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & -4 \end{array}\right)$$

От четвертой строки отнимем $\frac{4}{3}$ третьей и третью строку умножим на $\frac{1}{3}$ :

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end{array}\right)$$

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

$$A \sim\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & -6 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end{array}\right)$$

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-6 x_{4}=0 \\ -2 x_{2}+2 x_{3}+5 x_{4}=0 \\ 3 x_{4}-x_{5}=0 \end{array}\right.$$

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-x_{2}+6 x_{4} \\ x_{2}=x_{2} \\ x_{3}=x_{2}-\frac{5}{2} x_{4} \\ x_{4}=x_{4} \\ x_{5}=3 x_{4} \end{array}\right.$$

Здесь $x_{2}, x_{4}$ - независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), $x_{1}, x_{3}, x_{5}$ - зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных $n$ (в рассматриваемом примере $n=5$ , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы $r$ (в этом случае получили, что $r=3$ - количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): $n-r=5-3=2$

Так как ранг матрицы $r=3$ , а количество неизвестных системы $n=5$ , то тогда количество решений в ФСР $n-r=5-3=2$ (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-x_{2}+6 x_{4} \\ x_{3}=x_{2}-\frac{5}{2} x_{4} \\ x_{5}=3 x_{4} \end{array}\right.$$

Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения $x_{2}=1$ , $x_{4}=0$ получаем, что $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1+6 \cdot 0=-1 \\ x_{3}=1-\frac{5}{2} \cdot 0=1 \\ x_{5}=3 \cdot 0=0 \end{array}\right.$ . Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря $x_{2}=0$ , $x_{4}=2$, будем иметь, что {x_{1}=12, x_{3}=-5, x_{5}=6} , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

$$X_{1}=\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), X_{2}=\left(\begin{array}{r} 12 \\ 0 \\ -5 \\ 2 \\ 6 \end{array}\right)$$

Общее решение является линейной комбинацией частных решений:

$$X=C_{1} X_{1}+C_{2} X_{2}=C_{1}\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{r} 12 \\ 0 \\ -5 \\ 2 \\ 6 \end{array}\right)$$

где коэффициенты $C_{1}, C_{2}$ не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:

$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-C_{1}+12 C_{2} \\ x_{2}=C_{1} \\ x_{3}=C_{1}-5 C_{2} \\ x_{4}=2 C_{2} \\ x_{5}=6 C_{2} \end{array}\right.$    $C_{1}, C_{2} \neq 0$

Придавая константам $C_{1}, C_{2}$ определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.