Задание. Вычислить производную функции
$y(x)=\frac{1}{x-1}$
Решение. В знаменателе заданной функции стоит функция
$u(x)=x-1$, то есть
$$y(x)=\frac{1}{u(x)}$$
Поэтому необходимо найти
производную сложной функции. Для этого находим производную от
$\frac{1}{u(x)}$ :
$$\left(\frac{1}{u(x)}\right)^{\prime}=-\frac{1}{u^{2}(x)}$$
и умножаем на производную от функции $u(x)$ :
$$u^{\prime}(x)=(x-1)^{\prime}$$
Итак, имеем:
$$y^{\prime}(x)=\left(\frac{1}{u(x)}\right)^{\prime}=-\frac{1}{u^{2}(x)} \cdot u^{\prime}(x)=-\frac{1}{(x-1)^{2}} \cdot(x-1)^{\prime}$$
Производная суммы/разности равна сумме/разности производных. Тогда имеем:
$$y^{\prime}(x)=-\frac{1}{(x-1)^{2}} \cdot\left[(x)^{\prime}-(1)^{\prime}\right]$$
Производная от независимой переменной равна единице:
$(x)^{\prime}=1$, а производная от единицы, как от константы, равна нулю:
$(1)^{\prime}=0$
$$y^{\prime}(x)=-\frac{1}{(x-1)^{2}} \cdot(1-0)=-\frac{1}{(x-1)^{2}}$$
Ответ. $y^{\prime}(x)=-\frac{1}{(x-1)^{2}}$