Задание. Найти производную функции $y(x)=\ln (x-3)$
Решение. Так как в аргументе логарифма находится не просто $x$, а выражение $x-3$, то применить просто производную натурального логарифма нельзя, так как имеем дело со сложной функцией. В данном случае внутренняя функция $v(x)=x-3$, а внешняя - $u(v)=\ln v=\ln(x-3)$. Тогда искомая производная равна:
$$y^{\prime}(x)=(\ln (x-3))^{\prime}=\frac{1}{x-3} \cdot(x-3)^{\prime}$$Производная от разности равна разности производных, то есть имеем:
$$y^{\prime}(x)=\frac{1}{x-3} \cdot\left[(x)^{\prime}-(3)^{\prime}\right]=\frac{1}{x-3} \cdot(1-0)=\frac{1}{x-3}$$Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{1}{x-3}$