Функция $F(x)$ называется первообразной для функции
$y=f(x)$ на промежутке
$(a ; b)$, конечном или бесконечном, если функция
$F(x)$
дифференцируема в каждой точке этого промежутка
и ее производная удовлетворяет следующему равенству:
$F^{\prime}(x)=f(x)$
Последнее равенство можно записать через дифференциалы:
$\frac{d F}{d x}=f(x)$ или
$d F=f(x) d x$
Пример
Функция $F(x)=\frac{x^{2}}{2}$ является
первообразной для функции $f(x)=x$, так как
Первообразная $F(x)$ имеет конечную
производную, а,
следовательно, является непрерывной функцией.
Теорема
(О бесконечном множестве первообразных для функции)
Если функция $F(x)$ является первообразной для функции
$y=f(x)$ на некотором промежутке, то и функция
$\Phi(x)=F(x)+C$, где
$C$ - произвольная постоянная, также будет первообразной
для функции $f(x)$ на рассматриваемом промежутке.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 447 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Известно, что для функции $f(x)=x$ первообразной является
функция $F(x)=\frac{x^{2}}{2}$, а, следовательно, и все функции вида
$\Phi(x)=F(x)+C, C=const$ также будут первообразными, так как выполняется равенство
$\Phi^{\prime}(x)=f(x)$:
Таким образом, если функция $y=f(x)$ имеет первообразную, то
она имеет бесконечное множество первообразных.
Теорема
(Об общем виде первообразной для функции)
Если функции $F(x)$ и
$\Phi(x)$ - две любые первообразные функции
$y=f(x)$, то их разность равна некоторой постоянной, то есть
$$\Phi(x)-F(x)=C=\text { const }$$
Последнюю теорему можно сформулировать иначе: каждая функция, которая является первообразной для функции
$f(x)$, может быть представлена в виде
$F(x)+C$.
Неопределенный интеграл
Определение
Совокупность всех первообразных функции $y=f(x)$, определенных
на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции
$y=f(x)$ и обозначается символом
$\int f(x) d x$. То есть
$\int f(x) d x=F(x)+C$
Знак $\int$ называется интегралом,
$f(x) d x$ - подынтегральным выражением,
$f(x)$ - подынтегральной функцией, а
$x$ - переменной интегрирования.
Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции
$f(x)$ называется интегрированием функции
$f(x)$. Интегрирование представляет собой операцию,
обратную дифференцированию.
Неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельно расположенных кривых
$F(x)+C$, где каждому конкретному числовому значению
постоянной $C$ соответствует определенная
кривая из указанного семейства.
График каждой кривой из семейства называется интегральной кривой.
Теорема
Каждая непрерывная на промежутке $(a ; b)$ функция, имеет
на этом интервале первообразную.