Задание. Найти ряд Маклорена функции $y(x)=\cos ^{2} x$.
Решение. Применим к заданной функции формулу понижения степени, то есть представим ее в следующем виде:
$$y(x)=\cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \cos 2 x$$Ряд для функции $\cos t$ имеет вид:
$$\cos t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} t^{2 n}}{(2 n) !}$$Заменяя в последнем равенстве $t$ на $2x$, получаем, что
$$\cos 2 x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2 x)^{2 n}}{(2 n) !}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2 n} x^{2 n}}{(2 n) !}$$А тогда
$$y(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \cos 2 x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2 n} x^{2 n}}{(2 n) !}=$$ $$=\frac{1}{2}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2 n-1} x^{2 n}}{(2 n) !}$$Ответ. $y(x)=\frac{1}{2}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2 n-1} x^{2 n}}{(2 n) !}$