Задание. Найти вторую производную функции $y(x)=x \ln (2 x+3)$
Решение. Для начала найдем первую производную:
$y^{\prime}(x)=(x \ln (2 x+3))^{\prime}=(x)^{\prime} \cdot \ln (2 x+3)+x \cdot(\ln (2 x+3))^{\prime}=$
$=1 \cdot \ln (2 x+3)+x \cdot \frac{1}{2 x+3} \cdot(2 x+3)^{\prime}=\ln (2 x+3)+$
$+\frac{x}{2 x+3} \cdot\left[(2 x)^{\prime}+(3)^{\prime}\right]=\ln (2 x+3)+\frac{x}{2 x+3} \cdot\left[2 \cdot(x)^{\prime}+0\right]=$
$=\ln (2 x+3)+\frac{x}{2 x+3} \cdot 2 \cdot 1=\ln (2 x+3)+\frac{2 x}{2 x+3}$
Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:
$y^{\prime \prime}(x)=\left(y^{\prime}(x)\right)^{\prime}=\left(\ln (2 x+3)+\frac{2 x}{2 x+3}\right)^{\prime}=$
$=(\ln (2 x+3))^{\prime}+\left(\frac{2 x}{2 x+3}\right)^{\prime}=$
$=\frac{1}{2 x+3} \cdot(2 x+3)^{\prime}+\frac{(2 x)^{\prime} \cdot(2 x+3)-2 x \cdot(2 x+3)^{\prime}}{(2 x+3)^{2}}=$
$=\frac{1}{2 x+3}\left[(2 x)^{\prime}+(3)^{\prime}\right]+\frac{2(x)^{\prime} \cdot(2 x+3)-2 x \cdot\left[(2 x)^{\prime}+(3)^{\prime}\right]}{(2 x+3)^{2}}=$
$=\frac{1}{2 x+3}\left[2 \cdot(x)^{\prime}+0\right]+\frac{2 \cdot 1 \cdot(2 x+3)-2 x \cdot\left[2 \cdot(x)^{\prime}+0\right]}{(2 x+3)^{2}}=$
$=\frac{1}{2 x+3} \cdot 2 \cdot 1+\frac{2(2 x+3)-2 x \cdot 2 \cdot 1}{(2 x+3)^{2}}=$
$=\frac{2}{2 x+3}+\frac{4 x+6-4 x}{(2 x+3)^{2}}=\frac{2}{2 x+3}+\frac{6}{(2 x+3)^{2}}=$
$=\frac{2(2 x+3)+6}{(2 x+3)^{2}}=\frac{4 x+6+6}{(2 x+3)^{2}}=\frac{4 x+12}{(2 x+3)^{2}}=\frac{4(x+3)}{(2 x+3)^{2}}$
Ответ. $y^{\prime \prime}(x)=\frac{4(x+3)}{(2 x+3)^{2}}$