Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
Содержание:
Касательная и нормаль к кривой
Определение
Определение
Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.
Если кривая определена уравнением $y=f(x)$, то уравнение касательной к ней в точке $M(x_0;y_0)$ имеет вид:
$$y-y_{0}=y^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$$а уравнение нормали:
$$y-y_{0}=-\frac{1}{y^{\prime}\left(x_{0}\right)}\left(x-x_{0}\right)$$Пример
Задание. Написать уравнение касательной и нормали к кривой $y=x^2-3x+4$ в точке с абсциссой $x_0=0$.
Решение. Находим значение функции в заданной точке:
$$y_0=y(x_0)=y(0)=4$$Далее вычислим значение производной функции в точке $x_0=0$:
$$\begin{array}{l} y^{\prime}=\left(x^{2}-3 x+4\right)^{\prime}=\left(x^{2}\right)^{\prime}-(3 x)^{\prime}+(4)^{\prime}= \\ =2 x-3 \cdot(x)^{\prime}+0=2 x-3 \Rightarrow y^{\prime}(0)=-3 \end{array}$$а тогда уравнение касательной запишется в виде:
$$y-4=-3(x-0)$$или после упрощения:
$$3x+y-4=0$$уравнение нормали:
$$y-4=-\frac{1}{-3}(x-0) \Rightarrow x-3 y+12=0$$Ответ. Уравнение касательной: $3x+y-4=0$
Уравнение нормали: $x-3y+12=0$
Угол между кривыми
Определение
Углом между кривыми на плоскости в их общей точке $M(x_0;y_0)$ называется наименьший из двух возможных углов между касательными к этим кривым в данной точке. Если уравнения касательных, проведенных к кривым $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$, соответственно $y=k_{1}x+b_{1}$ и $y=k_{2}x+b_2$, то тангенс угла между кривыми определяется соотношением:
$$\operatorname{tg} \phi=\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1} k_{2}}=\frac{f_{2}^{\prime}\left(x_{0}\right)-f_{1}^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1+f_{1}^{\prime}\left(x_{0}\right) f_{2}^{\prime}\left(x_{0}\right)}$$Пример
Задание. Найти тангенс угла между кривыми $y=x^2-1$ и $y=x^3-1$ в точке их пересечения, которая имеет большую абсциссу.
Решение. Вначале найдем точки пересечения графиков заданных функций, для этого совместно разрешим уравнение заданных кривых:
$$\begin{array}{c} \left\{\begin{array}{l} y_{1}=x^{2}-1 \\ y_{2}=x^{3}-1 \end{array} \Rightarrow x^{2}-1=x^{3}-1 \Rightarrow x^{3}-x^{2}=0 \Rightarrow\right. \\ \Rightarrow x_{1,2}=0, x_{3}=1 \end{array}$$Таким образом, искомая точка $x=1$.
Далее находим производные заданных функций в найденной точке:
$$\begin{array}{c} y_{1}^{\prime}=\left(x^{2}-1\right)^{\prime}=\left(x^{2}\right)^{\prime}-(1)^{\prime}=2 x-0=2 x, y_{1}^{\prime}(1)=2 \\ y_{2}^{\prime}=\left(x^{3}-1\right)^{\prime}=\left(x^{3}\right)^{\prime}-(1)^{\prime}=3 x^{2}-0=3 x^{2}, y_{2}^{\prime}(1)=3 \end{array}$$Итак, искомый тангенс:
$$\operatorname{tg} \phi=\frac{3-2}{1+2 \cdot 3}=\frac{1}{7}$$Ответ. $\operatorname{tg} \phi=\frac{1}{7}$
Читать дальше: производные высших порядков.