Содержание:

Определение и формула ускорения

Определение

Ускорением (мгновенным ускорением) называют вектор, который определяет быстроту, с которой изменяется скорость перемещающейся материальной точки.

Обычно ускорение обозначают $\bar{a}$. В теоретической механике встречается обозначение ускорения: $\bar{w}$. Математическим определением мгновенного ускорения являются выражения:

$$\bar{a}=\frac{d \bar{v}}{d t}=\dot{\bar{v}}(1)$$

где $\bar{v}$ – скорость движения материальной точки

или

$$\bar{a}=\frac{d^{2} \bar{r}}{d t^{2}}=\ddot{\bar{r}}(2)$$

где $\bar{r}$ – радиус – вектор, который определяет положение материальной точки в пространстве.

Вектор ускорения располагается в плоскости соприкосновения, в которой находится главная нормаль и касательная к траектории, при этом он имеет направление в сторону вогнутости траектории.

Единицы измерения ускорения

Основными единицами измерения ускорения в системе СИ является: [a]=м/с2

в СГС: [a]=см/с2

Виды ускорения

Если построить соприкасающуюся плоскость, в любой точке траектории, то вектор $\bar{a}$ разложим на две взаимно перпендикулярные составляющие:

$$\bar{a}=\bar{a}_{n}+\bar{a}_{\tau}(3)$$

где $\bar{a}_n$ - вектор, направленный по главной нормали к центру кривизны траектории материальной точки – это нормальное ускорение; $\bar{a}_{\tau}$ - вектор, направленный по касательной к траектории – это касательное ускорение. При этом выполняются равенства:

$$a_{n}=\frac{v^{2}}{R}(4)$$ $$a_{\tau}=\frac{d}{d t}|\bar{v}|(5)$$ $$|\bar{a}|=a=\sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{v^{2}}{R}\right)^{2}+\dot{v}^{2}}(6)$$

где $|\bar{v}|=v$ – модуль вектора скорости, R – радиус кривизны траектории, an – проекция вектора $\bar{a}_n$ на направление единичного вектора главной нормали $(\bar{n})$, aт – проекция вектора $\bar{a}_{\tau}$ на направление единичного вектора касательной $\left(\bar{\tau}=\frac{\bar{v}}{v}\right)$. Величина an определяет быстроту изменения направления скорости, а величина aт - быстроту изменения модуля скорости.

Если $a_{\tau}=0$, то такое движение называют равномерным. При $a_{\tau}=$ const движение является равнопеременным (при $a_{\tau} < 0$ равнозамедленным, при $a_{\tau} > 0$ равноускоренным).

Средним ускорением материальной точки $\langle\bar{a}\rangle$ на отрезке времени от $t$ до $t+\Delta t$ называется векторная величина, равная отношению:

$$\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{\bar{v}(t+\Delta t)-\bar{v}(t)}{\Delta t}(7)$$

При $\Delta t \rightarrow 0$ в пределе среднее ускорение совпадает с мгновенным ускорением:

$$\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{d \bar{v}}{d t}=\bar{a}(t)(8)$$

Формула ускорения в разных системах координат

В декартовых координатах проекции ускорения (ax,ay,az) на оси (X,Y,Z)можно представить как:

$$a_{x}=\dot{v}_{x}=\ddot{x}, \quad a_{y}=\dot{v}_{y}=\ddot{y}, a_{z}=\dot{v}_{z}=\ddot{z}(9)$$

Соответственно, имеем:

$$\bar{a}=\ddot{x i}+\ddot{y} \bar{j}+\ddot{z} \bar{k}(10)$$

где $\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}$ – единичные орты по осям X,Y.Z. При этом модуль ускорения равен:

$$|\bar{a}|=a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}=\sqrt{\ddot{x}^{2}+\ddot{y}^{2}+\ddot{z}^{2}}(11)$$

В цилиндрической системе координат имеем:

$$a=\sqrt{\left(\ddot{\rho}-\rho \dot{\varphi}^{2}\right)^{2}+(\rho \ddot{\varphi}+2 \dot{\rho} \dot{\varphi})^{2}+\ddot{z}^{2}}(12)$$

В сферической системе координат модуль ускорения можно найти как:

$$ \begin{array}{c} a=\left[\left(\ddot{r}-r \dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \theta-r \dot{\theta}^{2}\right)^{2}+(2 \dot{r} \dot{\varphi} \sin \theta+r \ddot{\varphi} \sin \theta+2 r \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos \theta)^{2}\right. \\ +\left(2 \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta+r \ddot{\theta}-2 r \dot{\varphi}^{2} \sin \theta \cos \theta\right)^{2} \frac{1}{2}(13) \end{array} $$

Примеры решения задач

Пример

Задание. Материальная точка движется по окружности (рис.1), которая имеет радиус R=2м, уравнение движения: $S=10 t-2,5 t^{2}$, где t в секундах, а S в метрах. Каков модуль ускорения данной точки при t=3 c?

Решение. В качестве основы для решения задачи используем формулу:

$$|\bar{a}|=a=\sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{v^{2}}{R}\right)^{2}+\dot{v}^{2}}(1.1)$$

Используя заданное уравнение движения, найдем модуль скорости материальной точки:

$$v(t)=\frac{d S}{d t}=10-5 t$$

Продифференцировав уравнение для модуля скорости (1.2) по времени получим тангенциальную составляющую ускорения:

$a_{\tau}=-5$ м/с2

Для вычисления нормальной составляющей скорости движения нашей материальной точки следует, используя выражение (1.2) найти:

$a_{n}=\frac{v^{2}(t=3)}{R}=\frac{(10-5 \cdot 3)^{2}}{2}=12,5$ м/с2

Используя выражение (1.1) вычислим искомое ускорение:

$a=\sqrt{(-5)^{2}+(12,5)^{2}} \approx 13,5$ м/с2

Ответ. $a=\approx 13,5$ м/с2


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 461 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Какова зависимость ускорения материальной точки от времени (a(t)), если частица перемещается по оси X и ее скорость изменяется в соответствии с уравнением: $v=\alpha \sqrt{x}$, где $\alpha$ – постоянная большая нуля? В начальный момент времени (при t=0 с) материальная точка находилась в начале координат (x=0 м). Нарисуйте график a(t).

Решение. Из условий задачи можно записать, что:

$$v=v_{x}=\alpha \sqrt{x}=\frac{d x}{d t}(2.1)$$

Используя формулу (2.1) найдем зависимость координаты xот времени (x(t) ):

$$\int \alpha d t=\int \frac{d x}{\sqrt{x}} \rightarrow \alpha t=2 \sqrt{x}+C(2.2)$$

где постоянную интегрирования найдем из начального условия задачи. Мы знаем, что x(0)=0, значит C=0. Имеем:

$$x(t)=\frac{1}{4} \alpha^{2} t^{2}(2.3)$$

Используя формулу для нахождения ускорения для нашего случая (движение по оси X):

$$a=a_{x}=\ddot{x}(2.4)$$

получим искомое выражение для a(t):

$$a(t)=\frac{\alpha^{2}}{2}$$

Ответ. $a(t)=\frac{\alpha^{2}}{2}$ ускорение от времени не зависит, значит, график a(t) принимает вид (рис.2).


Читать дальше: Формула давления.