Углы, у которых вершина общая и стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами (рис. 1).
Содержание:
Определение вертикальных углов
Определение
На приведенном рисунке вертикальными есть углы $AOB$ и $COD$, а также $AOC$ и $BOD$ .
Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых.
Теорема
Вертикальные углы равны.
Примеры решения задач с вертикальными углами
Пример
Задание. Пусть на рисунке 1 $\angle COD$ равен $45^{\circ}$. Чему равны углы $AOB$ и $AOC$ ?
Решение. Так как углы $COD$ и $AOB$ вертикальные, то значит, они равны, а тогда
$$\angle A O B=\angle C O D=45^{\circ}$$Углы $AOB$ и $AOC$ смежные, а тогда из теоремы про смежные углы получаем, что их сумма равна $180^{\circ}$, то есть
$$\angle A O B+\angle A O C=180^{\circ}$$Отсюда
$$\angle A O C=180^{\circ}-\angle A O B=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$$Ответ. $\angle A O B=45^{\circ}, \angle A O C=135^{\circ}$
Пример
Задание. Сумма двух вертикальных углов, образованных при пересечении двух прямых, равна $100^{\circ}$. Найти величину каждого из четырех углов, образованных при пересечении.
Решение. Пусть сумма вертикальных углов $AOB$ и $\angle COD$ равна $100^{\circ}$ (рис. 1). Как известно, вертикальные углы равны между собой, поэтому
$$\angle A O B=\angle C O D$$Тогда из условия имеем:
$$\begin{aligned} \angle A O B+\angle C O D=100^{\circ} & \Rightarrow \angle C O D+\angle C O D=100^{\circ} \Rightarrow \\ & \Rightarrow 2 \angle C O D=100^{\circ} \Rightarrow \angle C O D=50^{\circ} \end{aligned}$$А значит и $\angle A O B=50^{\circ}$
Углы $AOB$ и $AOC$ смежные, а значит, их сумма равна $180^{\circ}$:
$$\begin{aligned} \angle A O B+\angle A O C &=180^{\circ} \Rightarrow \angle A O C=180^{\circ}-\angle A O B=\\ &=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ} \end{aligned}$$Углы $AOC$ и $BOD$ вертикальные, а значит
$$\angle B O D=\angle A O C=130^{\circ}$$Ответ. $50^{\circ}, 50^{\circ}, 130^{\circ}, 130^{\circ}$
Читать дальше: что такое синус угла.