Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\log _{3} x$
Решение. Согласно формуле имеем, что
$$y^{\prime}(x)=\left(\log _{3} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln 3}$$Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{1}{x \ln 3}$
Содержание:
Производная логарифмической функции по основанию $a$ равна единице, деленной на произведение подлогарифмической функции на натуральный логарифм основания.
Напомним, что есть специальные обозначения для логарифмов:
Пример
Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\log _{3} x$
Решение. Согласно формуле имеем, что
$$y^{\prime}(x)=\left(\log _{3} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln 3}$$Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{1}{x \ln 3}$
Пример
Задание. Найти производную функции $y(x)=2 \lg x$
Решение. Искомая производная равна:
$$y^{\prime}(x)=(2 \lg x)^{\prime}$$По правилам дифференцирования выносим константу за знак производной, а логарифм в условии десятичный, значит его основание равно 10, тогда имеем:
$$y^{\prime}(x)=2 \cdot(\lg x)^{\prime}=2 \cdot \frac{1}{x \ln 10}=\frac{2}{x \ln 10}$$Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{2}{x \ln 10}$
Читать дальше: производная натурального логарифма (lnx)'.