Содержание:

Формула

$$\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$$

Производная логарифмической функции по основанию $a$ равна единице, деленной на произведение подлогарифмической функции на натуральный логарифм основания.

Напомним, что есть специальные обозначения для логарифмов:

  • Десятичный логарифм, $\lg x$ - это логарифм по основанию 10, то есть $\lg x=\log _{10} x$ ;
  • Натуральный логарифм, $\ln x$ - это логарифм по основанию $e$, то есть $\ln x=\log _{e} x$ .

Примеры вычисления производной логарифма

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\log _{3} x$

Решение. Согласно формуле имеем, что

$$y^{\prime}(x)=\left(\log _{3} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln 3}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{1}{x \ln 3}$


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 458 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=2 \lg x$

Решение. Искомая производная равна:

$$y^{\prime}(x)=(2 \lg x)^{\prime}$$

По правилам дифференцирования выносим константу за знак производной, а логарифм в условии десятичный, значит его основание равно 10, тогда имеем:

$$y^{\prime}(x)=2 \cdot(\lg x)^{\prime}=2 \cdot \frac{1}{x \ln 10}=\frac{2}{x \ln 10}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{2}{x \ln 10}$

Полная таблица производных Решение производных онлайн

Читать дальше: производная натурального логарифма (lnx)'.