Задание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции
$y=\frac{x^{3}}{6}-x^{2}+3 x+1$
Решение. Найдем вторую производную заданной функции:
$y^{\prime \prime}=\left(\frac{x^{3}}{6}-x^{2}+3 x+1\right)^{\prime \prime}=\left(\frac{x^{2}}{2}-2 x+3\right)^{\prime}=x-2$
Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение
$y^{\prime \prime}(x)=0$:
$y^{\prime \prime}(x)=x-2=0 \Rightarrow x=2$
Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:
Так как на промежутке $(-\infty ; 2)$ вторая производная
$y^{\prime \prime}(x) \lt 0$, то на этом промежутке функция
$y(x)$ выпукла; в силу того, что на промежутке
$(2 ;+\infty)$ вторая производная
$y^{\prime \prime}(x)>0$ - функция вогнута. Так как при переходе через
точку $x=2$ вторая производная сменила знак, то
эта точка является точкой перегиба графика функции.
Ответ. Точка $x=2$ - точка перегиба графика функции.
На промежутке $(-\infty ; 2)$ функция выпукла, на промежутке
$(2 ;+\infty)$ функция вогнута.