Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного выражения на показатель корня.
Определение
1
$$\log _{a}\left({ }^{n} \sqrt{b}\right)=\frac{1}{n} \cdot \log _{a} b, a>0, a \neq 1, b>0$$
Пример
Задание. Вычислить $\log _{a} \sqrt{a b}$, если $\log _{a} b=7$
Решение. Перепишем данное выражение - сначала воспользуемся свойством логарифма корня, затем используем свойство логарифма произведения:
$$\log _{a} \sqrt{a b}=\frac{1}{2} \log _{a}(a b)=\frac{1}{2}\left(\log _{a} a+\log _{a} b\right)=\frac{1}{2}(1+7)=4$$Ответ. $\log _{a} \sqrt{a b}=4$
Верно и обратное:
Определение
Можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм.
2
$$\frac{1}{n} \cdot \log _{a} b=\log _{a}\left({ }^{n} \sqrt{b}\right), a, b>0, a \neq 1$$
Пример
Задание. Упростить выражение $\frac{1}{2} \log _{8} 16+\log _{8} 2$
Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма корня и логарифма произведения:
$$\frac{1}{2} \log _{8} 16+\log _{8} 2=\log _{8} \sqrt{16}+\log _{8} 2=$$ $$=\log _{8} 4+\log _{8} 2=\log _{8}(4 \cdot 2)=\log _{8} 8=1$$Ответ. $\frac{1}{2} \log _{8} 16+\log _{8} 2=1$
Читать дальше: число е.