Задание. Дан вектор $\bar{a}=(2 ;-1 ;-2)$, найти его направляющие
векторы и составить единичный вектор $\bar{a}_0$ направлений вектора
$\bar{a}$ .
Решение. Вектор задан в пространстве, поэтому для нахождения направляющих векторов воспользуемся формулами
$\begin{aligned} \cos \alpha=\frac{a_{x}}{|\bar{a}|}=\frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} &, \quad \cos \beta=\frac{a_{y}}{|\bar{a}|}=\frac{a_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} \\ \cos \gamma=\frac{a_{z}}{|\bar{a}|}=& \frac{a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} \end{aligned}$
Подставляя в эти формулы координаты заданного вектора, получим
$$\begin{aligned} \cos \alpha=\frac{a_{x}}{|\bar{a}|}=\frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} &=\frac{2}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{2}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3} \\ \cos \beta=\frac{a_{y}}{|\bar{a}|}=\frac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} &=\frac{-1}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{-1}{\sqrt{9}}=-\frac{1}{3} \\ \cos \gamma=\frac{a_{z}}{|\bar{a}|}=\frac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} &=\frac{-2}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{-2}{\sqrt{9}}=-\frac{2}{3} \end{aligned}$$
Составим единичный вектор $\bar{a}_0$ направлений
вектора $\bar{a}$ . Он равен
$$\bar{a}_{0}=(\cos \alpha ; \cos \beta ; \cos \gamma)=\left(\frac{2}{3} ;-\frac{1}{3} ;-\frac{2}{3}\right)$$
Ответ. $\cos \alpha=\frac{2}{3}, \cos \beta=-\frac{1}{3}, \quad \cos \gamma=-\frac{2}{3}, \bar{a}_{0}=\left(\frac{2}{3} ;-\frac{1}{3} ;-\frac{2}{3}\right)$