Задание. Вычислить смешанное произведение векторов $\bar{a}=(1 ; 3 ; 1)$, $\bar{b}=(2 ; 1 ; 3)$, и $\bar{c}=(3 ; 1 ; 2)$
Решение. Для нахождения смешанного произведения заданных векторов воспользуемся формулой
$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{lll}a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z}\end{array}\right|$$Подставляя координаты заданных векторов, получим:
$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right|$$Определитель вычисляем по правилу треугольника:
$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right|=1 \cdot 1 \cdot 2+3 \cdot 3 \cdot 3+2 \cdot 1 \cdot 1-$$ $$-1 \cdot 1 \cdot 3-3 \cdot 2 \cdot 2-3 \cdot 1 \cdot 1=2+27+2-3-12-3=13$$Ответ. $(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=13$