Центром тяжести называют точку, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на материальные точки, на которые разбито рассматриваемое тело, при любом положении тела в пространстве.
Центр тяжести тела
Как известно, сила тяжести тела равна векторной сумме сил тяжести, которые действуют на все материальные точки, на которые можно разбить рассматриваемое тело. Точку, к которой приложена результирующая сила тяжести, называют центром тяжести. Если известно положение центра тяжести, то можно считать, что на тело действует только одна сила тяжести, приложенная к центру тяжести.
Следует учитывать, что силы тяжести, действующие на отдельные элементы тела, направлены к центру Земли и не являются строго параллельными. Но так как размеры большинства тел на Земле много меньше ее радиуса, поэтому эти силы считают параллельными.
Определение центра тяжести тела
Определение
Центр тяжести - это точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести равен нулю при любом положении тела.
От положения центра тяжести зависит устойчивость всех конструкций.
Как найти центр тяжести?
Для нахождения центра тяжести тела сложной формы необходимо мысленно разбить тело на части простой формы и определить место нахождения центров тяжести для них. У тел простой формы центр тяжести определяют, используя их симметрию. Так, центр тяжести однородных диска и шара расположен в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т, д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например, у кольца.
Определив, где расположены центры тяжести отдельных частей тела, переходят к поиску места расположения центра тяжести тела в целом. Тело представляют в виде системы материальных точек. При этом каждая точка имеет массу своей части тела и располагается в ее центре тяжести.
Координаты центра тяжести тела
В трехмерном пространстве координаты центра тяжести для твердого тела нахояд как:
\[\left\{ \begin{array}{c} x_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_ix_i}}{m};; \\ y_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iy_i}}{m};; \\ z_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iz_i}}{m} \end{array} \right.\left(1\right),\]где $m$ - масса тела.$;;x_i$ - координата на оси X элементарной массы $\Delta m_i$; $y_i$ - координата на оси Y элементарной массы $\Delta m_i$; ; $z_i$ - координата на оси Z элементарной массы $\Delta m_i$.
В векторной форме записи система уравнений (1) представляется как:
\[{\overline{r}}_c=\frac{1}{m}\sum\limits_i{m_i{\overline{r}}_i\left(2\right),}\]${\overline{r}}_c$ - радиус - вектор, определяющий положение центра тяжести; ${\overline{r}}_i$ - радиус-векторы, которые определяют положения элементарных масс.
Центр тяжести, центр масс и центр инерции тела
Считают, что центр тяжести тела совпадают с центром масс тела, если его размеры малы в сравнении с расстоянием до центра Земли. При этом формулы, которые определяют положение цента тяжести и центра масс тела совпадают с выражениями (1) и (2). В основной массе задач центр тяжести принимают совпадающим с центром масс тела.
Сила инерции в неинерциальных системах отсчета, движущихся поступательно, приложена к центру тяжести тела.
Но центробежная сила инерции (в общем случае) не приложена к центру тяжести, поскольку в неинерциальной системе отсчета на элементы тела действуют разные центробежные силы инерции (даже если массы элементов равны), так как расстояния до оси вращения разные.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание: Каковы координаты центра тяжести системы из трех точечных масс, расположенных в вершинах и одной в центре равностороннего треугольника, со стороной равной $a\ (м)$ (рис.1)?
Решение: Определение для координат $x_c\ и\ y_c$ центра тяжести в нашем случае запишем в виде:
\[x_c=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}(1.1);;\] \[y_c=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+m_4y_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}(1.2).\]Из рис.1 мы видим, что соответствующие абсциссы точек равны:
\[\left\{ \begin{array}{c} m_1=2m,\ \ x_1=0;;\ \ \\ {\rm \ }m_2=3m,\ \ \ \ x_2=\frac{a}{2};; \\ m_3=m,\ \ x_3=\frac{a}{2};; \\ m_4=4m,\ \ x_4=a. \end{array} \right.\left(1.3\right).\]Тогда абсцисса центра тяжести получается равной:
\[x_c=\frac{2m\cdot 0+3m\cdot \frac{a}{2}+m\cdot \frac{a}{2}+4m\cdot a}{2m+3m+m+4m}=\frac{6ma}{10m}=0,6a\ (м);\]Найдем ординаты точек.
\[ \begin{array}{c} m_1=2m,\ \ y_1=0;;\ \ \\ {\rm \ }m_2=3m,\ \ \ \ y_2=\frac{a\sqrt{3}}{2};; \\ m_3=m,\ \ y_3=\frac{a\sqrt{3}}{6};; \\ m_4=4m,\ \ y_4=0. \end{array} \left(1.4\right).\]Для того чтобы найти ординату $y_2$ найдем, высоту в равностороннем треугольнике:
\[h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}=y_2\left(1.5\right).\]Ординату $y_3$ найдем, учитывая, что медианы в равностороннем треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины, имеем:
\[y_3=h\cdot \frac{1}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\ \left(1.6\right).\]Вычислим ординату центра тяжести:
\[y_c=\frac{2m\cdot 0+3m\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}+m\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}+4m\cdot 0}{2m+3m+m+4m}=\frac{10m\frac{a\sqrt{3}}{6}}{10m}=\frac{a\sqrt{3}\ }{6}(м).\]Ответ: $x_c=0,6a\ {\rm \ }{\rm м}$; $y_c=\frac{a\sqrt{3}\ }{6}$ м
Пример 2
Задание: Каковы координаты центра тяжести системы из четырех элементарных масс, расположенных в вершинах куба со стороной равной $a$ (рис.2)?
Решение: Координату $x_c$ центра тяжести найдем как:
\[x_c=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=\frac{m\cdot a+2m\cdot 0+3m\cdot 0+4m\cdot 0}{m+2m+3m+4m}=\frac{am}{10m}=0,1\ a\left(м\right).\]Ординату центра тяжести вычислим как:
\[y_c=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+m_4y_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=\frac{m\cdot 0+2m\cdot 0+3m\cdot a+4m\cdot 0}{m+2m+3m+4m}=\frac{a\cdot 3m}{10m}=0,3a\ \left(м\right).\]Для координаты $z_c$ получаем:
\[z_c=\frac{m_1z_1+m_2z_2+m_3z_3+m_4z_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=\frac{m\cdot 0+2m\cdot a+3m\cdot 0+4m\cdot 0}{m+2m+3m+4m}=\frac{a\cdot 2m}{10m}=0,2a\ \left(м\right).\]Ответ: ($x_{c,\ }y_c,\ z_c$)=($\ 0,1\ a$, $0,3a$, $0,2a$)(м)
Читать дальше: циклическая частота колебаний.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
