Амплитуда скорости груза, теория и онлайн калькуляторы
Амплитуда скорости груза
Скорость груза пружинного маятника
Рассмотрим пружинный маятник, который представляет собой груз массой $m$, подвешенный на пружине, которую считают абсолютно упругой (ее коэффициент упругости равен $k$). Пусть груз движется вертикально, движения происходят под воздействием силы упругости пружины и силы тяжести, если система выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе. Массу пружины считаем малой в сравнении с массой груза. Начало отсчета поместим на оси X (ось направлена вниз) в точке равновесия груза.
Пружинный маятник является примером гармонического осциллятора. Колебания гармонического осциллятора служат важным примером периодического движения и являются моделью во многих задачах физики. Колебания такого груза можно считать гармоническими и описывать при помощи уравнения:
\[x\left(t\right)=A{\cos \left({\omega }_0t+\alpha \right)\left(1\right),\ }\]
где $x\left(t\right)$ - смещение груза от положения равновесия в момент времени ($t$); ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$- амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\alpha )$ - фаза колебаний; $\alpha $ - начальная фаза колебаний.
Скорость колебаний груза при этом найдем как:
\[\frac{dx}{dt}=-A{\omega }_0{\sin \left({\omega }_0t+\alpha \right)\left(2\right).\ }\]
Амплитудой скорости колебаний груза при этом является величина равная:
\[{\left(\frac{dx}{dt}\right)}_{max}=A{\omega }_0\left(3\right).\]
Для пружинного маятника амплитуда колебаний скорости груза равна:
\[{\left(\frac{dx}{dt}\right)}_{max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}\left(4\right).\]
Амплитуда скорости колебаний математического и физического маятников
Будем считать математический маятник шариком (грузом), подвешенным на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Математический маятник является примером гармонического осциллятора, совершающим колебания, которые описывает уравнение:
\[\ddot{\varphi }+{\omega }^2_0\varphi =0\ \left(5\right).\]
Решением уравнения (5) является выражение:
\[\varphi ={\varphi }_0{\cos \left({\omega }_0t+\alpha \right)\left(6\right),\ }\]
где $\varphi $ - угол отклонения нити от положения равновесия, $\alpha $ - начальная фаза колебаний; ${\varphi }_0$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$ - циклическая частота колебаний.
Амплитудой скорости колебаний груза на нити в данном случае является величина равная:
\[{\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}_{max}={\varphi }_0{\omega }_0\left(7\right).\]
Для математического маятника амплитуда скорости колебаний груза равна:
\[{\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}_{max}={\varphi }_0\sqrt{\frac{g}{l}}\left(8\right).\]
Примеры задач на амплитуду скорости груза
Пример 1
Задание. Колебательная система представляет собой груз, массы $m,\ $подвешенный на упругой пружине (рис.1). Смещение груза вдоль оси X изменяется по закону: $x(t)=2{\cos (10\ t)(м)\ }.$ Чему равно максимальное значение кинетической энергии груза ($E_{k\ max}$)?
Решение. Кинетическую энергию груза можно найти и определения:
\[E_{k\ }=\frac{m{(\frac{dx}{dt})}^2}{2}\ \left(1.1\right).\]
Из уравнения колебаний груза найдем уравнение изменения его скорости:
\[\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(2{cos \left(10\ t\right)\ }\right)=-20{\sin \left(10\ t\right)\left(\frac{м}{с}\right)(1.2).\ }\]
Используя выражение (1.2) получим уравнение изменения кинетической энергии в виде:
\[E_{k\ }=\frac{m}{2}{(20{\sin (10t)\ })}^2=\frac{400m}{2}{sin}^2\left(10t\right)\left(1.3\right).\]
Из выражения (1.3) следует, что максимальное значение кинетической энергии (ее амплитуда), учитывая, что ${sin}^2\left(10t\right)\le 1$ равно:
\[E_{k\ max}=200\cdot \ m\left(Дж\right).\]
Ответ. $E_{k\ max}=200\cdot \ m$ Дж
Пример 2
Задание. Скорость колебаний груза на нити (математический маятник) изменяется в соответствии с гармоническим законом: $\frac{d\varphi }{dt}(t)=5{\sin \left(2\pi t\right)\ }$. Чему равны амплитуда скорости амплитуда угла отклонения ${\varphi }_0$? Запишите уравнение $\varphi (t)$ для этих колебаний.\textit{}
Решение. Амплитуду скорости изменения угла отклонения мы видим непосредственно в уравнении:
\[\frac{d\varphi }{dt}(t)=5{\sin \left(2\pi t\right)\left(2.1\right).\ }\]
Она равна:
\[{\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}_{max}=5\ .\]
Амплитуду угла отклонения найдем, используя соотношение:
\[{\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}_{max}={\varphi }_0{\omega }_0\left(2.2\right),\]
где ${\omega }_0=2\pi $ исходя из уравнения (2.1). Получаем:
\[{\varphi }_0=\frac{{\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}_{max}}{{\omega }_0}=\frac{5}{2\pi }\ \left(2.3\right).\]
Уравнение $\varphi (t)$, учитывая (2.3) будет иметь вид:
\[\varphi \left(t\right)=-\frac{5}{2\pi }{\cos \left(2\pi t\right)\ }.\]
Ответ. 1) ${\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}_{max}=5.\ 2)\ {\varphi }_0=\frac{5}{2\pi }$. 3) $\varphi \left(t\right)=-\frac{5}{2\pi }{\cos \left(2\pi t\right)\ }$
Читать дальше: виды равновесия.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 446 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
