Мерой колебательного движения служит циклическая (или угловая, или круговая) частотой колебаний.
Циклическая частота колебаний
Определение
Это скалярная физическая величина.
Циклическая частота при гармонических колебаниях
Пусть колебания совершает материальная точка. При этом материальная точка через равные промежутки времени проходит через одно и то же положение.
Самыми простыми колебаниями являются гармонические колебания. Рассмотрим следующую кинематическую модель. Точка M с постоянной по модулю скоростью ($v$) движется по окружности радиуса A. В этом случае ее угловую скорость обозначим ${\omega }_0$, эта скорость постоянна (рис.1).
Проекция точки $M$ на диаметр окружности (точка $N$), на ось X, выполняет колебания от $N_1$ до $N_2\ $и обратно. Такое колебание N ,будет гармоническим. Для описания колебания точки N необходимо записать координату точки N, как функцию от времени ($t$). Пусть при $t=0$ радиус OM образует с осью X угол ${\varphi }_0$. Через некоторый промежуток времени этот угол изменится на величину ${\omega }_0t$ и будет равен ${\omega }_0t+{\varphi }_0$, тогда:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)\ }\left(1\right).\]Выражение (1) является аналитической формой записи гармонического колебания точки N по диаметру $N_1N_2$.
Обратимся к выражению (1). Величина $A$ - это максимальное отклонение точки, совершающей колебания, от положения равновесия (точки О - центра окружности), называется амплитудой колебаний.
Параметр ${\omega }_0$ - циклическая частота колебаний. $\varphi =({\omega }_0t+{\varphi }_0$) - фаза колебаний; ${\varphi }_0$ - начальная фаза колебаний.
Циклическую частоту гармонических колебаний можно определить как частную производную от фазы колебаний по времени:
\[{\omega }_0=\frac{?\varphi }{\partial t}=\dot{\varphi }\left(2\right).\]При ${\varphi }_0=0$, уравнение колебаний (1) преобразуется к виду:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t\right)\ }\left(3\right).\]Если начальная фаза колебаний равна ${\varphi }_0=\frac{\pi }{2}$ , то получим уравнение колебаний в виде:
\[x=A{{\rm s}in \left({\omega }_0t\right)\ }\left(4\right).\]Выражения (3) и (4) показывают, что при гармонических колебаниях абсцисса $x$ - это функция синус или косинус от времени. При графическом изображении гармонических колебаний получается косинусоида или синусоида. Форма кривой определена амплитудой колебаний и величиной циклической частоты. Положение кривой зависит от начальной фазы.
Циклическую частоту колебаний можно выразить через период (T) колебаний:
\[{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\left(5\right).\]Циклическую частоту с частотой $?$$?$ свяжем выражением:
\[{\omega }_0=2\pi \nu \ \left(6\right).\]Единицей измерения циклической частоты в Международной системе единиц (СИ) является радиан, деленный на секунду:
\[\left[{\omega }_0\right]=\frac{рад}{с}.\]Размерность циклической частоты:
\[{\dim \left({\omega }_0\right)=\frac{1}{t},\ }\]где $t$ - время.
Частные случаи формул для вычисления циклической частоты
Груз на пружине (пружинный маятник - идеальная модель) совершает гармонические колебания с круговой частотой равной:
\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\left(7\right),\]$k$ - коэффициент упругости пружины; $m$ - масса груза на пружине.
Малые колебания физического маятника будут приблизительно гармоническими колебаниями с циклической частотой равной:
\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{mga}{J}}\left(8\right),\]где $J$ - момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ - расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ - масса маятника.
Примером физического маятника является математический маятник. Круговая частота его колебаний равна:
\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}\left(9\right),\]где $l$ - длина подвеса.
Угловая частота затухающих колебаний находится как:
\[\omega =\sqrt{{\omega }^2_0-{\delta }^2}\left(10\right),\]где $\delta $ - коэффициент затухания; в случае с затуханием колебаний ${\omega }_0$ называют собственной угловой частотой колебаний.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание: Чему равна циклическая частота гармонических колебаний, если максимальная скорость материальной точки равна ${\dot{x}}_{max}=10\ \frac{см}{с}$, а ее максимальное ускорение ${\ddot{x}}_{max}=100\ \frac{см}{с^2}$?
Решение: Основой решения задачи станет уравнение гармонических колебаний точки, так как из условий, очевидно, что они происходят по оси X:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)\ }\left(1.1\right).\]Скорость колебаний найдем, используя уравнение (1.1) и кинематическую связь координаты $x$ и соответствующей компоненты скорости:
\[v_x=\frac{dx}{dt}=-A{\omega }_0\left({\sin \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)\ }\right)\left(1.2\right).\]Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) равна:
\[v_{max}={\dot{x}}_{max}=Aщ_0\ \left(1.3\right).\]Ускорение точки вычислим как:
\[a_x==\frac{dv_x}{dt}=-A{{\omega }_0}^2\left({\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)\ }\right)\left(1.4\right),\]из (1.4):
\[a_{max}={\ddot{x}}_{max}=A{{\omega }_0}^2(1.5).\]Из формулы (1.3) выразим амплитуду, подставим ее в (1.5), получим циклическую частоту:
\[{\dot{x}}_{max}=A{\omega }_0\to A=\frac{{\dot{x}}_{max}}{{\omega }_0};;\ {\ddot{x}}_{max}=A{щ_0}^2=\frac{{\dot{x}}_{max}}{щ_0}{щ_0}^2\to щ_0=\frac{{\ddot{x}}_{max}}{{\dot{x}}_{max}}.\]Вычислим циклическую частоту:
\[щ_0=\frac{100}{10}=10(\frac{рад}{с}).\]Ответ: $щ_0=10\frac{{\rm рад}}{{\rm с}}$
Пример 2
Задание: На длинном невесомом стержне закреплены два груза одинаковой массы. Один груз находится на середине стержня, другой на его конце (рис.2). Система совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стрежня. Какова циклическая частота колебаний? Длина стержня равна $l$.
Решение: Основой для решения задачи является формула нахождения частоты колебаний физического маятника:
\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{mga}{J}}\left(2.1\right),\]где $J$ - момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ - расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ - масса маятника. Масса маятника по условию задачи состоит из масс двух одинаковых шариков (масса одного шарика $\frac{m}{2}$). В нашем случае расстояние $a$ равно расстоянию между точками O и C (см. рис.2):
\[a=\frac{3}{4}l\ \left(2.2\right).\]Найдем момент инерции системы из двух точечных масс. Относительно центра масс (если ось вращения провести через точку C), момент инерции системы ($J_0$) равен:
\[J_0=2\cdot \frac{m}{2}\cdot \frac{l^2}{16}=\frac{ml^2}{16}\left(2.3\right).\]Момент инерции нашей системы относительно оси, проходящей через точку О найдем по теореме Штейнера:
\[J=J_0+m{(\frac{3}{4}l\ )}^2=\frac{ml^2}{16}+\frac{m9l^2}{16}=\frac{5}{8}ml^2\left(2.4\right).\]Подставим правые части выражение (2.2) и (2.4) в (2.1) вместо соответствующих величин:
\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{mg\frac{3}{4}l\ }{\frac{5}{8}ml^2}}=\sqrt{\frac{6g}{5l}}.\]Ответ: ${\omega }_0=\sqrt{\frac{6g}{5l}}$
Читать дальше: амплитуда скорости груза.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
