• Главная
• Справочник
• Физика

Скорость движения

Мгновенная скорость движения материальной точки

Пусть положение материальной точки в пространстве задано радиус-вектором $\overline{r}$. При движении этой точки этот радиус-вектор изменяется по величине и направлению. Допустим, что положение материальной точки в момент времени $t_1$ задано при помощи вектора ${\overline{r}}_1$, в момент времени $t_2$ положение этой же точки определяет вектор ${\overline{r}}_2$.

Тогда за время $\Delta t=t_2-t_1$, рассматриваемая нами материальная точка совершает перемещение, равное:

\[\Delta \overline{r}={\overline{r}}_2-{\overline{r}}_1\left(1\right).\]

Тогда предел отношения $\frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}$ при $\Delta t\to 0$ называют мгновенной скоростью ($\overline{v}$):

\[\overline{v}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}\ }\left(2\right).\]

Из выражения (2) следует, что скорость определяют как производную от перемещения по времени:

\[\overline{v}=\frac{d\overline{r}}{dt}\left(3\right).\]

Скорость - векторная величина. Вектор $\frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}$ - это секущая для траектории движения точки. Вектор скорости является касательным к траектории (в соответствующей точке) движения тела.

В проекциях на оси декартовой системы координат вектор скорости записывают как:

\[\overline{v}=v_x\overline{i}+v_y\overline{j}+v_z\overline{k}\ \left(4\right),\]

где $\overline{i}$; $\overline{j}$; $\overline{k}$ - единичные векторы осей X, Y, Z; $v_x=\frac{dx}{dt};;v_y=\frac{dy}{dt};;\ v_z=\frac{dz}{dt}$. При этом модуль скорости найдем как:

\[v=\sqrt{v^2_x+v^2_y{+v}^2_z}\left(5\right).\]

Элементарный путь ($\Delta s$) в общем случае не равен модулю элементарного перемещения ($\left|\Delta \overline{r}\right|$), но если рассматривать отрезки пути и перемещения при $\Delta t\to 0$, то различие между этими параметрами будет тем меньше, чем ближе $\Delta t$ к нулю, поэтому можно считать, что:

\[\overline{v}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}\ }\left(6\right).\]

Единицей скорости является скорость такого движения, при котором перемещение точки в единицу времени равно единице длины:

\[\left[v\right]=\frac{\left[s\right]}{\left[t\right]}.\]

В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения скорости (в том числе и средней скорости) является метр в секунду:

\[\left[v\right]=\frac{м}{с}.\]

Средняя скорость движения тела

Физическая величина, равная отношению перемещения, которое совершило тело к этому промежутку времени движения называют средней скоростью ($\left\langle v\right\rangle $) материальной точки:

\[\overline{\left\langle v\right\rangle }=\frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}\left(7\right).\]

Иногда при вычислении средней скорости используют другое ее определение: среднюю скорость считают равной отношению всего пройдённого пути (s) ко времени (t) движения тела:

\[\left\langle v\right\rangle =\frac{s}{t}\left(8\right).\]

При таком определении средняя скорость - это скалярная величина.

Формулы для вычисления скорости при движении разных видов

Если тело движется равномерно, то его скорость постоянна. Ее вычисляют при помощи выражения:

\[v=\frac{s}{t}\left(9\right),\]

где $s$ - путь; $t$ - время движения. При равномерном прямолинейном движении у скорости постоянным является не только величина, но и направление, то есть можно записать:

\[\overline{v}=const.\]

Если известно ускорение точки как функция от времени ($\overline{a}(t)$) и начальная скорость движения тела (при $t=0$) (${\overline{v}}_0$), то скорость можно найти в любой момент времени применяя формулу:

\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\int\limits^{t'}_0{\overline{a}(t)}dt\ \left(10\right).\]

При равнопеременном движении (при $\overline{a}=const$) скорость равна:

\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{a}t\ \left(11\right).\]

Примеры задач с решением

Читать дальше: тело, брошенное под углом к горизонту.