• Главная
• Справочник
• Физика

Тело, брошенное под углом к горизонту

Тело, брошенное под углом к горизонту, будем рассматривать как материальную точку, совершающую свободный полет в поле тяжести Земли, без учета сопротивления воздуха. Вектор ускорения в таком движении является постоянной величиной:

\[\overline{a}=\overline{g}\left(1\right).\]

Скорость движения такого тела можно выразить формулой:

\[\overline{v}\left(t\right)={\overline{v}}_0+\overline{g}t\ \left(2\right),\]

где ${\overline{v}}_0$ - скорость тела в момент броска. Формулу (2) можно рассматривать как результат сложения скоростей двух независимых движений по прямым линиям, в которых участвует тело, брошенное под углом к горизонту. Это равномерное перемещение с постоянной скоростью ${\overline{v}}_0$ в направлении горизонта и равноускоренного движения с ускорением $\overline{g}$ без начальной скорости в направлении вектора ускорения свободного падения.

Согласно принципу независимости перемещений при одновременном участии тела в этих двух движениях перемещение нашей материальной точки ($\Delta \overline{r}$) равно сумме векторов: ${\overline{v}}_0t$ и $\frac{\overline{g}t^2}{2}$. Если мы поместим начало отсчета в точку нахождения тела в момент начала наблюдения ($=0$), то вектор перемещения за промежуток времени от 0 до $t$ будет совпадать с радиус-вектором $\overline{r}(t)$:

\[\overline{r}\left(t\right)={\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2}\left(3\right),\]

где $\overline{g}$ направлен вертикально вниз и равен по величине приблизительно 9,8 $\frac{м}{с^2}.$

Траектория движения тела, брошенное под углом к горизонту

Не смотря на то, что каждое отдельное движение тела происходит по прямой, результирующей траекторией является парабола, лежащая в плоскости в которой находятся векторы ${\overline{v}}_0$ и $\overline{g}$.

Допустим, что тело при $t=0\ c$ было на высоте $h$, его бросили со скоростью ${\overline{v}}_0$, направленной под углом $\alpha $ к горизонту (рис.1).

Начальные условия при рассматриваемом движении точки таковы:

\[при\ t=0\ c\left\{ \begin{array}{c} x_0=0, \\ y_0=h, \\ v_{0x}=v_0{\cos \alpha ,\ } \\ v_{0y}=v_0{\sin \alpha .\ } \end{array} \right.(4)\]

Кроме этого мы знаем, что для рассматриваемого движения: $a_x=0;;\ a_y=-g.$ Выражения для проекции скорости (2) на оси принимают вид:

\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=v_0{\cos \alpha ,\ } \\ v_y=v_0{\sin \alpha -gt\ } \end{array} \left(5\right).\right.\]

Уравнение перемещения при равнопеременном движении ($\overline{a}=\overline{g}$):

\[\overline{s}\left(t\right)={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2},\]

где ${\overline{s}}_0$ - смещение тела в начальный момент времени. В нашем случае $s_0=h$. Уравнения координат точки, брошенной под углом к горизонту из уравнения для перемещения:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=v_0{\cos \left(\alpha \right)\cdot t,\ } \\ y={h+v}_0{\sin \left(\alpha \right)\cdot t-\frac{gt^2}{2}\ } \end{array} \left(6\right).\right.\]

Из систем уравнений (5) и (6) траектория движения материальной точки получается, задана уравнением:

\[y=h+x\ tg\ \alpha -\frac{gx^2}{2v^2_0{cos}^2\alpha }\left(7\right).\]

По форме уравнения (7) видно, что траекторией движения является парабола.

Время подъема и полета тела, брошенное под углом к горизонту

Время подъема тела, брошенное под углом к горизонту, при рассматриваемом движении легко определить из системы уравнений (5). В точке максимального подъема вектор скорости точки параллелен оси X, значит $v_y=0$, время подъема ($t_p$) равно:

\[t_p=\frac{v_0{\sin \alpha \ }}{g}\left(8\right).\]

Время, которое тело пребывало в воздухе (время полета($t_{pol}$)) определяют из второго уравнения системы (6), приравнивая координату $y$ к нулю, получают:

\[t_{pol}=\frac{v_0{\sin \alpha +\sqrt{v^2_0{sin}^2\alpha +2gh}\ }}{g}\left(9\right).\]

Дальность полета и высота подъема

Для того чтобы найти горизонтальную дальность полета тела, брошенное под углом к горизонту, ($s$) при заданных нами условиях в уравнение координаты $x$ системы уравнений (6) следует подставить время полета ($t_{pol}$) (9). При $h=0,$ дальность полета равна:

\[s=\frac{v^2_0{\sin \left(2\alpha \right)\ }}{g}\left(10\right).\]

Из выражения (10) следует, что при данной скорости бросания дальность полета максимальна при $\alpha =\frac{\pi }{4}$.

Максимальную высоту подъема тела ($h_{max}$) находят из второго уравнения системы (6), подставляя в него время подъема ($t_p$) (8):

\[h_{max}=h+\frac{{v_0}^2{{sin}^2 б\ }}{2g}\left(11\right).\]

Выражение (11) показывает, что максимальная высота подъема тела прямо пропорциональна квадрату скорости бросания и увеличивается при росте угла бросания.

Примеры задач с решением

Читать дальше: траектория движения.