Поперечной волной называют такую волну, в которой колебания частиц среды происходят в направлениях перпендикулярных к направлению распространения волны.
Поперечные волны
Основные понятия волн
Рассматривая законы распространения механических волн, отвлекаются от молекулярного строения вещества, рассматривая его как сплошную среду, которая непрерывно изменяется в пространстве. Говоря о частице среды, мы будем говорить о малом элементе объема вещества, размеры которого много больше, чем расстояния между молекулами, при этом частицы среды будем считать точками.
В первом приближении все вещества можно считать упругими (исключение - разреженные газы), поскольку внутренние силы, появляющиеся при малых деформациях, пропорциональны величинам деформации.
Если в какой - то точке упругой среды возбудить колебания ее частиц, из-за их взаимодействия оно будет распространяться в веществе от одной частицы к другой с некоторой скоростью. Процесс распространения колебаний в пространстве называют волной. При этом частицы среды волной не переносятся, а каждая частица совершает колебания около своего положения равновесия.
В зависимости от направления колебаний частицы вещества по отношению к направлению распространения волны, волны делят на продольные и поперечные. Если частицы совершают колебания в направлении распространения волны, то такую волну называют продольной.
Определение поперечных волн
Определение
Механические волны могут быть поперечными только в среде, в которой возможны деформации сдвига (среда обладает упругостью формы). Следовательно, в жидкостях и газах механических поперечных волн не наблюдают. Поперечные механические волны возникают в твердых телах. Примером таких волн являются волны, которые распространяются в струнах.
Поперечная волна имеет поляризацию (линейную, круговую или эллиптическую), вектор амплитуды этой волны обладает определенной ориентацией в поперечной плоскости.
Скорость распространения поперечных волн
Скорость ($v$) распространения поперечных волн в бесконечной изотропной среде можно найти при помощи формулы:
\[v=\sqrt{\frac{G}{\rho }\left(1\right),}\]где $G$ - модуль сдвига среды; $\rho $ - плотность вещества.
Упругие свойства и плотность твердого тела зависит от химического состава вещества, и она несущественно изменяется при изменении давления и температуры. Поэтому в большинстве случаев скорость распространения волны можно считать постоянной.
Скорость в формуле (1) называется фазовой скоростью.
Уравнение волны
Основная задача при изучении волн - это установления закона изменения во времени и пространстве физических величин, которые однозначно характеризуют движение волны. При рассмотрении упругих волн такой величиной служит, например, смещение ($s$) частиц среды от их положений равновесия. Функция $s$ в зависимости от координат пространства и времени называется уравнением волны.
Самым простым видом волн являются гармонические волны. В таких волнах параметры $s$ для всех частиц среды, которые охвачены волной, совершают гармонические колебания с одинаковыми частотами. Для реализации данного волнового процесса необходимо, чтобы источник гармонических волн совершал незатухающие гармонические колебания.
Пусть одномерная поперечная волна распространяется по оси X , от источника волны, находящегося в начале координат - точке О. Примером такой волны является, волна, которая распространяется в упругой бесконечной струне, один из концов которой заставляют совершать колебательные движения. Если колебания в точке О происходят по закону:
\[s_0=A_0{\cos \left(\omega t+\varphi \right)\left(2\right),\ }\]где $A_0$ - амплитуда; $\omega $- циклическая частота колебаний; $\varphi $ - начальная фаза. Тогда колебания в некоторой произвольной точке А на оси X отстают по фазе от $s_0$ и происходят по закону:
\[s=A{\cos \left[\omega \left(t-t_1\right)+\varphi \right]\ }\left(3\right),\]где $t_1=\frac{x}{v}$ - время, которое необходимо для того, чтобы волна прошла расстояние от источника волны до рассматриваемой точки А ($ОА=x$). $A$ - амплитуда волны в точке А. Если среда в которой распространяется волна не поглощает энергию, то амплитуды колебаний и амплитуда волны совпадают:
\[A_0=A.\]Уравнение одномерной волны (3) часто записывают в другой форме, вводя понятие волнового числа ($k$):
\[k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{\omega }{v}\left(4\right),\]где $\lambda $ - длина волны.
\[s=A{\cos \left[\omega t-kx+\varphi \right]\ }\left(5\right).\]Уравнения (3) и (5) эквивалентны и называются уравнением одномерной волны.
Величина $\left[\omega t-kx+\varphi \right]$ называется фазой волны в произвольной точке А. Из сравнения уравнения (2)и уравнения (5), следует, что колебания в точке А отстают от колебаний в источнике (точке О) по фазе на величину $kx$. Величина $\left(kx+\varphi \right)$ - начальная фаза колебаний в точке А.
Расстояние между двумя ближайшими точками среды, в которых разность начальных фаз колебаний равна $2\pi $, называют длиной волны ($\lambda $).
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание: Поперечная одномерная волна имеет период T и амплитуду колебаний A. Распространяется она со скоростью $v$. Каково смещение частицы среды, которая находится на расстоянии $x_1$ от источника волн в момент времени $t_1$ от начала колебаний? Изобразите рассматриваемую волну распространяющейся вдоль оси X для фиксированного момента времени ($t_1$).
Решение: Запишем уравнение одномерной волны, которое даст нас смещение частицы среды:
\[s=A{\cos \left[\omega t-kx+\varphi \right]\ }\left(1.1\right).\]Будем считать что в начальный момент времени начальная фаза колебаний равна нулю ($\varphi $=0). Циклическую частоту найдем, зная период колебаний точек в волне:
\[\omega =\frac{2\pi }{T}\left(1.2\right).\]Волновое число равно:
\[k=\frac{\omega }{v}=\frac{2\pi }{Tv}\left(1.3\right).\]Перепишем уравнение волны (1.1) учитывая (1.2) и (1.3):
\[s=A{\cos \left[\frac{2\pi }{T}t-\frac{2\pi }{Tv}x\right]\ }\ \left(1.4\right).\]Для того чтобы найти смещение заданной в условии задачи точки, которую определяет параметр ($x_1$) в момент времени $t_1$, подставим эти параметры в уравнение (1.4) получаем:
\[s_1=A{\cos \left[\frac{2\pi }{T}t_1-\frac{2\pi }{Tv}x_1\right].\ }\]
Ответ: $s_1=A{\cos \left[\frac{2\pi }{T}t_1-\frac{2\pi }{Tv}x_1\right]\ }$
Пример 2
Задание: Покажите, что уравнение одномерной волны удовлетворяет волновому уравнению:
\[\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}\left(2.1\right),\]если $\omega =kv$.
Решение: Запишем уравнение одномерной волны:
\[s=A{\cos \left[\omega t-kx+\varphi \right]\ }\left(2.2\right).\]Найдем частную производную $\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}$:
\[\frac{\partial s}{\partial x}=Ak{{\rm sin\ } \left[\omega t-kx+\varphi \right]\ };;\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}=-A{k^2\cos \left[\omega t-kx+\varphi \right]\ \left(2.3\right).\ }\]Вычислим $\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}$:
\[\frac{\partial s}{\partial t}=-A\omega {{\rm sin\ } \left[\omega t-kx+\varphi \right];;\ \ }\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=-A{\omega }^2{cos \left[\omega t-kx+\varphi \right]\ }\ \left(2.4\right).\]Найдем произведение $\frac{1}{v}\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2},$ используя (2.4) и условие задачи $\omega =kv$:
\[\frac{1}{v}\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=-\frac{1}{v}A{\omega }^2{cos \left[\omega t-kx+\varphi \right]=\ }-\frac{1}{v}A{(kv)}^2{cos \left[\omega t-kx+\varphi \right]=-A{k^2cos \left[\omega t-kx+\varphi \right]\ \left(2.5\right).\ }\ }\]Сравниваем правые части уравнений (2.3) и (2.5):
\[\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}=-A{k^2\cos \left[\omega t-kx+\varphi \right]\ .\ }\] \[\frac{1}{v}\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=-A{k^2cos \left[\omega t-kx+\varphi \right]\ .\ }\]Получаем, если правые части равны, то равны и левые:
\[\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}=\frac{1}{v}\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}.\]Читать дальше: примеры продольных волн.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
