Волны, волновые поверхности которых представляют собой плоскости, называют плоскими.
Плоская волна
Определение и основные понятия плоской волны
Пусть источником волн в бесконечной упругой среде является бесконечно большая пластина. Она совершает колебания вдоль оси X, плоскость пластины перпендикулярна оси X (рис.1).
Пластина совершает гармонические колебания. Введем следующие обозначения: $s_0$ - смещение точек пластины AB и примыкающих к ней частиц среды от положения равновесия; $A_0$ - амплитуда колебаний пластины; $\varphi $ - фаза колебаний; $\omega $ - циклическая частота колебаний. Уравнение колебаний пластины имеет вид:
\[s_0=A_0{\cos \left(\omega t+\varphi \right)\left(1\right).\ }\]В таком случае в среде распространяется гармоническая волна такой же частоты. Если среда является однородной и изотропной, то колебания всех частиц вещества на одинаковых расстояниях от пластины идентичны (совпадают амплитуды и начальные фазы колебаний). То есть волновые поверхности имеют вид параллельных плоскостей, которые перпендикулярны оси X (направлению волны). Данные волны называют плоскими.
Определение
Уравнение плоской волны
Колебания в точках среды, находящихся на расстоянии $x$ от плоскости AB отстают по фазе от колебаний источника на величину $kx$:
\[s=A{\cos (\omega t-kx+\varphi )\ }\ \left(2\right),\]при отсутствии рассеяния энергии волны в веществе $A$=$A_0$. $k=\frac{2\pi }{\lambda }\ $- волновое число.
Для точек пространства находящихся правее плоскости AB $x>0$, для точек находящихся левее этой плоскости $x<0$. Поэтому уравнение плоской волны, которая распространяется в положительном направлении оси X, имеет вид (2).
Если волна распространяется против оси X, то уравнением волны является выражение:
\[s=A{\cos (\omega t+kx+\varphi )\ }\ \left(3\right).\]В общем случае положение источника плоских волн может не совпадать с плоскостью координат X=0. Тогда уравнения волн принимают вид:
\[\left\{ \begin{array}{c} s=A{cos \left(\omega t-k\left(x-x_0\right)+\varphi \right),\ } \\ s=A{cos \left(\omega t+k\left(x-x_0\right)+\varphi \right)\ } \end{array} \right.\left(4\right),\]где $x_0$ - координата плоскости источника волн.
Уравнение плоской волны в экспоненциальной форме
Используя формулу Эйлера уравнение плоской волны записывают в показательной (экспоненциальной) форме:
\[\tilde{s}=\tilde{A}e^{i\left(\overline{k}\overline{r}-\omega t\right)}\left(5\right),\]где $\overline{k}$ - волновой вектор, равный по модулю волновому числу, направленный в сторону распространения волны; $\overline{r}$ - радиус-вектор рассматриваемой точки; $\tilde{A}$ - комплексная амплитуда волны: $\tilde{A}=Ae^{-i(\varphi -\frac{\pi }{2})}$; $\varphi $ - начальная фаза колебаний при $r=0$. Выражение (5) удобно для математических операций, но физический смысл имеет его вещественная часть ($s=Re(\tilde{s})$).
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание: Плоская гармоническая волна распространяется по прямой, которая совпадает с осью X, в положительном направлении оси. Среда энергию не поглощает. Скорость распространения волны равна $v$. Амплитуда волны $A.$ Две точки, которые находятся на расстояниях $x_1\ и\ x_2$ от источника волны совершают колебания с разностью фаз $\Delta \varphi =\frac{3\pi }{5}$. Какова длина волны? Запишите уравнение волны.
Решение: Запишем уравнение плоской волны:
\[s=A{\cos \left[\omega t-kx+\varphi \right]\ }\left(1.1\right).\]где
\[k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{\omega }{v}\left(1.2\right).\]Фазы колебаний двух точек в этой волне равны:
\[{\varphi }_1=\omega t-kx_1+\varphi ;;\ {\varphi }_2=\omega t-kx_2+\varphi \left(1.3\right).\]Найдем их разность:
\[\Delta \varphi =\omega t-kx_2+\varphi -\left(\omega t-kx_1+\varphi \right)=k\left(x_2-x_1\right)=\frac{2\pi }{\lambda }\left(x_2-x_1\right)\left(1.4\right).\]Выразим длину волны ($\lambda $) из (1.4):
\[\lambda =\frac{2\pi \left(x_2-x_1\right)}{\Delta \varphi }.\]Для написания уравнения волны через известные из условий задачи величины используем формулу:
\[\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi v}{\lambda }\left(1.5\right),\]Можем записать уравнение волны:
\[s=A{\cos \left[\frac{2\pi v}{\lambda }t-\frac{2\pi }{\lambda }x\right],\ }\]где $\lambda =\frac{2\pi \left(x_2-x_1\right)}{\Delta \varphi }.$
Ответ: 1) $\lambda =\frac{2\pi \left(x_2-x_1\right)}{\Delta \varphi }$; 2) $s=A{\cos \left[\frac{2\pi v}{\lambda }t-\frac{2\pi }{\lambda }x\right]\ }$
Пример 2
Задание: В однородном упругом веществе имеется плоская стоячая волна вида: $s=A{\cos (\omega t)\ }{\cos (kx)\ }$. Нарисуйте графики зависимости $s\left(x\right)$ при $t=0$ и $t=\frac{T}{2}$, где $T$ - период колебаний.
Решение: Сделаем рисунок.
Читать дальше: поперечные волны.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
