Колебательное движение (колебание) - это любое движение или изменение состояния, которое повторяется во времени, соответственно повторяются значения физических величин, которые характеризуют данное движение или состояние.
Колебательное движение
Определение и основные понятия колебательного движения
Определение
Различные физические явления представляют собой колебания: звуковые колебания, электромагнитные, механические и т.д. У всех этих явлений существует общее в законах и математических методах, при помощи которых они описываются.
Колебательное движение называется периодическим, если переменные параметры этих колебаний повторяются через равные промежутки времени.
Определение
Колебания называются свободными, если они происходят в системе, на которую не действуют внешние силы (или действие их взаимно скомпенсировано).
Такая система один раз выводится из состояния равновесия. Если колебательная система консервативная, то рассеяния энергии при колебаниях нет. В таком случае свободные колебания являются незатухающими. Свободные незатухающие колебания, которые происходят под воздействием упругих сил, являются гармоническими.
Периодом незатухающих колебаний называют минимальный промежуток времени ($T$) по истечении которого происходит повторение значений всех физических параметров, которые характеризуют колебание.
Частотой колебаний ($\nu $) называют величину обратную периоду колебаний, это количество полных колебаний, которое совершает колебательная система:
\[\nu =\frac{1}{T}\left(1\right).\]Гармонические колебания
Самым простым типом колебаний считают гармонические колебания.
Определение
Колебания называют гармоническими, если изменения физической величины описывается при помощи закона синуса или косинуса.
Пусть происходят гармонические колебания никоторого параметра $s$, тогда они описываются как:
\[s=A{\cos ({\omega }_0t+\varphi )\ }\ \left(2\right),\]где $A=s_{max}$ - амплитуда колебаний (постоянна во времени); ${\omega }_0$ - циклическая (круговая) частота колебаний (с течением времени не изменяется); $\varphi $ - начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $({\omega }_0t+\varphi )$ - фаза колебаний. Величина $s$ изменяется $-A\le s\le $+A.
Те же самые колебания можно описать как:
\[s=A{{\rm s}in ({\omega }_0t+{\varphi }_1)\ }\ \left(3\right).\]За время равное периоду колебаний фаза изменяется на величину равную $2\pi $, поэтому:
\[T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\left(4\right).\]Циклическая частота ${\omega }_0$ равна числу полных колебаний, которые совершаются колебательной системой за $2\pi $c:
\[{\omega }_0=2\pi \nu \left(5\right).\]Дифференциальное уравнение колебательного движения
Линейное дифференциальное уравнение гармонических колебаний представляет собой выражение:
\[\frac{d^2s}{dt^2}+{\omega }^2_0s=0\ \left(6\right).\]Решениями уравнения (6) является выражения (2) и (3). Уравнение вида (6) называют уравнением гармонического осциллятора, а колебательную систему, которая совершает эти колебания гармоническим осциллятором (примерами гармонических осцилляторов являются: пружинный маятник, физический маятник, электрический колебательный контур).
Представление гармонических колебаний в комплексной форме
Сложение, разложение на составляющие и другие операции при изучении гармонических колебаний проще проводить, если представить уравнение гармонических колебаний в комплексной форме. При этом вместо действительной формы записи (2 и 3) используют комплексную:
\[\tilde{s}=Ae^{i\left({\omega }_0t+\varphi \right)}\left(7\right).\]Величина $\tilde{s}$ является комплексной и не дает реального физического отклонения, которое характеризуется вещественной величиной $s$ (2,3). Но мнимую часть величины $\tilde{s}$ можно рассматривать как действительной гармоническое колебание выраженное синусом. С другой стороны действительная часть (7) равная:
\[Re\ \left(\tilde{s}\right)=A{cos ({\omega }_0t+\varphi )\ }\ \left(8\right),\]представляет собой вещественное гармоническое колебание. Поэтому гармонические колебания можно записывать в комплексном виде (7) и выполнять все требуемые расчёты. При получении результата нужно взять действительную или мнимую часть для перехода к физическим величинам.
График гармонического колебания в комплексном виде изображен на рис.1. Комплексный вектор $\overline{A}\ $осуществляет вращения около начала координат с угловой скоростью ${\omega }_0$. При этом проекции вектора $\overline{A}$ на оси X и Y являются действительными физическими колебаниями.
Примеры задач на колебательное движение
Пример 1
Задание: Материальная точка, массой $m={10}^{-4}$кг совершает колебания согласно закону: $x=0,05{\cos (20t)\ }$. Каково максимальное значение возвращающей силы, действующей на точку ($F_{max}$)?
Решение:В соответствии со вторым законом Ньютона на материальную точку действует сила:
\[F=ma\ \left(1.1\right).\]Так как колебания точки происходят по оси X, то получим:
\[F_x=m\frac{d^2x}{dt^2}\ \left(1.2\right).\]Вычислим вторую производную от $x\left(t\right)=0,05{cos (20t)\ }$, имеем:
\[\frac{d^2x}{dt^2}=-0,05\ \cdot {\left(20\right)}^2{cos \left(20t\right)\left(1.3\right).\ }\]Подставим правую часть выражения (1.3) в (1.2) вместо соответствующей производной, учитывая массу точки получаем:
\[F_x={10}^{-4}\cdot (-0,05\ \cdot {\left(20\right)}^2{cos \left(20t\right)\ })\left(1.4\right)\]Максимальное значение косинуса равно единице, значит:
\[\left|F_{max}\right|={10}^{-4}\cdot (-0,05\ \cdot {\left(20\right)}^2=2\cdot {10}^{-3}\left(Н\right).\]Ответ: $\left|F_{max}\right|=2\cdot {10}^{-3}$Н
Пример 2
Задание: Нарисуйте траекторию колебательного движения точки, если она участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, которые описывают законы:
\[\left\{ \begin{array}{c} x=A{\sin \left({\omega }_0t\right);\ } \\ y=A{\cos \left({2\omega }_0t\right).\ } \end{array} \right.\]Решение:Определим, каким является уравнение колебательного движения точки в плоскости XY. Используем формулу косинуса двойного угла:
\[{\cos \left({2\omega }_0t\right)={{\cos }^2 \left({\omega }_0t\right)\ }\ }-{{\sin }^2 \left({\omega }_0t\right)=1-2\ }{{\sin }^2 \left({\omega }_0t\right)\ \left(2.1\right).\ }\]Из условия задачи:
\[\left\{ \begin{array}{c} x=A{\sin \left({\omega }_0t\right)\to {\rm sin}\left({\omega }_0t\right)=\frac{x}{A};;\ } \\ y=A{\cos \left({2\omega }_0t\right).\ } \end{array} \right.\]Получаем, что $y$ равен:
\[y=A\left(1-2{{\rm sin}}^2\left({\omega }_0t\right)\right)=A\left(1-\frac{{2x}^2}{A^2}\right)=A-\frac{{2x}^2}{A}.\]Уравнение $y\left(x\right)=A-\frac{{2x}^2}{A}$ показывает, что траекторией движения частицы является парабола (рис.2).
Ответ: $y\left(x\right)=A-\frac{{2x}^2}{A}$
Читать дальше: линейная и угловая скорость.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
