Векторная величина равная:
\[\overline{v}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}=\frac{d\overline{r}}{dt}\left(1\right),\ }\]называется мгновенной скоростью или просто скоростью.
Линейная и угловая скорость
Линейная скорость
Определение
В выражении (1) $\Delta \overline{r}$ - перемещение материальной точки за отрезок времени равный $\Delta t$. Скорость характеризует быстроту перемещения тела. Мгновенная скорость - это скорость в данный момент времени.
Предельный переход в выражении (1) имеет геометрический смысл. Вектор $\Delta \overline{r}$ направлен вдоль хорды, соединяющей две точки траектории, сближение этих точек ведет к тому, что этот вектор принимает положение касательной к траектории движения в данной точке. Получается, что вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения. При прямолинейном движении вектор скорости направлен по прямой.
Скорость прохождения пути определена аналогично:
\[v={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}\left(2\right).\ }\]Если траектория движения материальной точки - плавная кривая, то чем короче дуга, тем ближе она по длине к длине хорды. В предельном переходе при$\ \Delta t\to 0$ можно считать, что $\Delta s\to \Delta r$. Следовательно,
\[v={\mathop{lim}_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta r}{\Delta t}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{dr}{dt}=\frac{ds}{dt}\left(3\right).\ }\ }\]Если представить радиус - вектор, определяющий положение материальной точки $\overline{r}$ в декартовой системе координат как:
\[\overline{r}=x\left(t\right)\overline{i}+y\left(t\right)\overline{j}+z\left(t\right)\overline{k}\left(4\right),\]где $\overline{i}$; $\overline{j}$; $\overline{k}$ - единичные орты соответствующих осей координат, постоянные во времени, то подставив правую часть выражения (4) в определение линейной скорости (1), получим:
\[\overline{v}=\overline{i}\frac{dx}{dt}+\overline{j}\frac{dy}{dt}+\overline{k}\frac{dz}{dt}\left(5\right).\]Из формулы (5) следует, что проекции скорости на оси координат X, Y,Z равны:
\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=\frac{dx}{dt}, \\ v_y=\frac{dy}{dt} \\ v_z=\frac{dz}{dt}. \end{array} \right.(6),\]При этом модуль скорости найдем в соответствии с выражением:
\[v=\sqrt{v^2_x+v^2_y{+v}^2_z}.\]Единицей скорости является скорость такого движения, при котором перемещение точки в единицу времени равно единице длины:
\[\left[v\right]=\frac{\left[s\right]}{\left[t\right]}.\]В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения линейной скорости (в том числе и средней скорости) является метр в секунду:
\[\left[v\right]=\frac{м}{с}.\]Угловая скорость
Определение
Угловой скоростью называют векторную величину, равную первой производной от угла поворота по времени:
\[\overline{\omega }=\frac{d\overline{\varphi }}{dt}\left(7\right).\]Вектор угловой скорости направлен по оси вращения по правилу правого винта, то есть как вектор $d\overline{\varphi }.$
Связь между линейной и угловой скоростями задана выражением:
\[v=R\omega \left(8\right).\]В векторном виде формулу (8) записывают как:
\[\overline{v}=\overline{\omega }\times \overline{R}\left(9\right),\]$\overline{R}$ - вектор, соединяющий ось вращения и движущуюся точку. Модуль скорости в выражении (9) найдем как:
\[v=\omega R{\sin \alpha \ \left(10\right),\ }\]где $\alpha $ - угол между вектором угловой скорости и $\overline{R}.$
При равномерном движении по окружности угловая скорость ($\omega =const$), частота и период связаны как:
\[\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu \left(11\right).\]Единица измерения угловой скорости - это радиан, деленный на секунду:
\[\left[\omega \right]=\frac{рад}{с}.\]Примеры задач на линейную и угловую скорость
Пример 1
Задание: Цилиндр вращается вокруг неподвижной оси так, что угол поворота изменяется в зависимости от времени как: $\varphi =At^2,\ где\ A=const.$ Какой будет угловая скорость цилиндра в момент времени $t'?$ Нарисуйте график зависимости угловой скорости движения цилиндра от времени ($\omega (t)$).
Решение: Основой для решения задачи будет определение величины угловой скорости:
\[\omega =\frac{d\varphi }{dt}\left(1.1\right).\]Найдем производную от функции $\varphi (t)=At^2$, которая задана в условии задачи:
\[\omega =\frac{d}{dt}\left(At^2\right)=2At\ \left(1.2\right).\]При $t=t'$ угловая скорость цилиндра равна:
\[\omega \left(t'\right)=2At'.\]Функция $\omega (t)$, как мы видим из уравнения (1.2) является линейной, следовательно, графиком угловой скорости в осях ($\omega ,t$) ,будет прямая, выходящая из начала координат рис.1. Угол наклона прямой характеризует коэффициент $2A$.
Пример 2
Задание: Материальная точка движется в плоскости XOY. Ее движение описывают уравнения:
\[ \left\{ \begin{array}{c} x=At, \\ y=At(1+Bt) \end{array} \right. \]$(A,B-постоянные,\ больше\ нуля)$. Запишите закон изменения скорости движения точки ($\overline{v}(t)$). Каков модуль скорости движения точки?
Решение: Закон движения точки задан в координатной форме. В векторном виде его запишем как:
\[\overline{r}\left(t\right)=x\overline{i}+y\overline{j}=At\overline{i}+At\left(1+Bt\right)\overline{j}\left(2.1\right),\]$\overline{i}$ и $\overline{j}$ - орты осей X и Y, соответственно.
Скорость движения найдем в соответствии с ее определением:
\[\overline{v}=\frac{d\overline{r}}{dt}=A\overline{i}+\left(A+2ABt\right)\overline{j}\left(2.2\right).\]Величину скорости найдем, зная из уравнения (2.2), что:
\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=A, \\ v_y=A+2ABt \end{array} \right.\left(2.3\right).\]модуль скорости равен:
\[v=\sqrt{v^2_x+v^2_y}=\sqrt{A^2+{(A+2ABt)}^2}=A\sqrt{1+{(1+2Bt)}^2.}\]Ответ: $\overline{v}=A\overline{i}+\left(A+2ABt\right)\overline{j}.$ $v=A\sqrt{1+{(1+2Bt)}^2}$
Читать дальше: механические колебания и волны.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
