Эффектом Доплера называют явление изменения длины волны (частоты) излучения, которое воспринимает приемник (наблюдатель) из-за движения источника (и (или) перемещения приёмника).
Эффект Доплера
Определение эффекта Доплера
Определение
Этот эффект был открыт в 1842 г австрийским ученым К. Доплером, позднее получил его имя. Доплер обосновал связь между частотой колебаний, воспринимаемыми приемником, от направления и величины скорости перемещения приемника по отношению к источнику волн.
Обычно выделяют два типа эффекта Доплера (по типу волн):
- Эффект Доплера при распространении электромагнитных волн - оптический эффект Доплера. В этом случае рассматривается относительное перемещение источника волн и наблюдателя в вакууме.
- При распространении волн звука наблюдают акустический эффект Доплера. В данном случае учитывают среду, в которой распространяется звук, относительное движение источника и наблюдателя и перемещение источника и приемника по отношению к среде.
Существует еще, так называемое, черенковское излучение, которое возникает при движении заряженных частиц с большими скоростями в веществе, которое связано с эффектом Доплера.
Эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме
В соответствии с принципом Эйнштейна уравнение волны света для всех инерциальных систем отсчета не изменяет свою форму. Используя преобразования Лоренца можно получить уравнение электромагнитной волны, которую посылает источник наблюдателю при смене системы отсчета. Это означает, что можно связать частоты волн света, которые излучаются источником (${\nu }_0$) и принимаются наблюдателем ($\nu $). Для волн света в вакууме мы имеем:
\[\nu ={\nu }_0\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{v}{c}{\cos \vartheta }}\left(1\right),\]где $v$ - скорость источника волн по отношению к приемнику; $c$- скорость света в вакууме; $\vartheta$ - угол между $\overline{v}$ и направлением, в котором проводится наблюдение в системе отсчета наблюдателя. При $\vartheta=0$ получают формулу, описывающую продольный эффект Доплера:
\[\nu ={\nu }_0\frac{\sqrt{1-\frac{v}{c}}}{\sqrt{1+\frac{v}{c}}}\left(2\right).\]Продольный эффект Доплера наблюдают при перемещении наблюдателя по линии, которая соединяет его с источником. Если относительные скорости движения $v$ малы ($v\ll c$), при разложении (2) в ряд и учитывая только степени $\frac{v}{c}$ первого порядка, получаем:
\[\nu ={\nu }_0\left(1-\frac{v}{c}\right)\left(3\right).\]Из выражения (3) следует, что если $v>0$ (источник и приемник удаляются друг от друга) можно наблюдать сдвиг в область длинных волн. Говорят, что наблюдается красное смещение:
\[v>0\to {\mathbf \nu }{\mathbf <}{\nu }_0\to \lambda >{\lambda }_0\left(4\right).\]Если источник волн и наблюдатель сближаются, то
\[v<0\to {\mathbf \nu }{\mathbf >}{\nu }_0\to \lambda <{\lambda }_0\left(5\right)\]происходит фиолетовое смещение.
Продольный эффект Доплера экспериментально был обнаружен в 1900 г. А.А. Белопольским.
Этот эффект применяется при изучении атомов и молекул, космических тел. По смещению частоты колебаний света, проявляющейся в смещении или расширении линий спектра, определяют характер перемещения излучающих частиц или тел.
При движении приемника перпендикулярно линии, которая соединяет наблюдателя и источник ($\vartheta=\frac{\pi }{2}$) формула (1) приобретает вид:
\[\nu ={\nu }_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\left(6\right).\]Выражение (6) определяет поперечный эффект Доплера. Из уравнения (6) следует, что поперечный эффект Доплера зависит от $\frac{v^2}{c^2}$, то есть является эффектом второго порядка малости в сравнении с продольным эффектом. Поперечный эффект обнаружить сложнее, так как он меньше. Поперечный эффект в акустике не встречается. При малых скоростях $v$ ($v\ll c$) из (6)следует, что $\nu ={\nu }_0.$ Это означает, что поперечный эффект Доплера является исключительно релятивистским эффектом. Его связывают с замедлением течения времени перемещающегося приемника.
Поперечный эффект Доплера найден экспериментально в 1938 г американцем Г. Айвсом. Этот эффект - еще одно доказательство теории относительности.
Эффект Доплера широко используется в радиотехнике и радиолокации.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Каково смещение в эффекте Доплера ($\Delta \lambda $) для линии спектра атомарного водорода ($\lambda $), если приемник находится под прямым углом к пучку атомов водорода? Частицы имеют кинетическую энергию равную $E_k$.
Решение.Так как источник и приёмник находятся под углом $\frac{\pi }{2}$, то наблюдаться может поперечный эффект Доплера, следовательно:
\[\nu ={\nu }_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\left(1.1\right).\]Частота и длина волны света связаны соотношением:
\[\lambda =\frac{c}{\nu };;{\lambda }_0=\frac{c}{{\nu }_0}\ \left(1.2\right).\]Из (1.1) и (1.2) следует, что:
\[\frac{\lambda }{{\lambda }_0}=\sqrt{\frac{1}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}}\left(1.3\right).\]Разложим правую часть выражения (1.3) в степенной ряд:
\[\sqrt{\frac{1}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}}=1+\frac{1}{2}\cdot \frac{v^2}{c^2}+\dots \left(1.4\right).\] \[\frac{\lambda }{{\lambda }_0}\approx 1+\frac{1}{2}\cdot \frac{v^2}{c^2}\left(1.5\right).\]Длину волны, которую получает приемник можно записать как:
\[\lambda ={\lambda }_0+\Delta \lambda \left(1.6\right),\]тогда отношение $\frac{\lambda }{{\lambda }_0}$ равно:
\[\frac{\lambda }{{\lambda }_0}=\frac{{\lambda }_0+\Delta \lambda }{{\lambda }_0}=1+\frac{1}{2}\cdot \frac{v^2}{c^2}\to \frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}=\frac{v^2}{2c^2}\to \Delta \lambda =\frac{v^2}{2c^2}{\lambda }_0\left(1.7\right).\]Скорость движения атомов найдем из выражения для кинетической энергии:
\[E_k=\frac{mv^2}{2}\to v^2=\frac{2E_k}{m}\left(1.8\right).\]Из формул (1.7) и (1.8) получим:
\[\Delta \lambda =\frac{{\lambda }_0}{c^2}\frac{E_k}{m}.\]Ответ. $\Delta \lambda =\frac{{\lambda }_0}{c^2}\frac{E_k}{m}$
Пример 2
Задание. Как на основании эффекта Доплера астрономы показывают, что Вселенная расширяется?
Решение. Еще в 1929 г. американский ученый - астрофизик Э. Хабл исследуя спектры галактик, наблюдал смещение линий поглощения в сторону длинных волн (красное смещение). Данный эффект объясняют продольным эффектом Доплера, для которого известно, что если:
\[v>0\to {\mathbf \nu }{\mathbf <}{\nu }_0\to \lambda >{\lambda }_0\left(2.1\right)\]длины волн увеличиваются, относительная скорость источника и приемника положительная, следовательно, источник и приёмник волн удаляются друг от друга, значит, Вселенная расширяется.
Читать дальше: вес тела.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
