Колебаниями называют такие движения или процессы, которые повторяются.
Частота колебаний
Гармонические колебания, частота и др их характеристики
Определение
По своей природе колебания делят на механические, электромагнитные и др. Разные виды колебаний описывают при помощи одинаковых уравнений и при этом используют одинаковые характеристики.
Колебания являются свободными (собственными), если они происходят за счет энергии, которая получена колебательной системой один раз и в дальнейшем внешние воздействия на эту систему отсутствуют.
Самым простым видом колебаний являются гармонические колебания. Гармоническими колебаниями называют такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Пусть происходят гармонические колебания никоторого параметра $s$, тогда они описываются как:
\[s=A{\cos ({\omega }_0t+\varphi )\ }\ \left(1\right),\]где $A=s_{max}$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая (круговая) частота колебаний; $\varphi $ - начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $({\omega }_0t+\varphi )$ - фаза колебаний. Величина $s$ лежит в пределах $-A\le s\le $+A.
Промежуток времени через который повторяются определенные состояния системы (T) называют периодом. За время равное периоду колебаний фаза изменяется на величину равную $2\pi $, поэтому:
\[T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\left(2\right).\]Разные процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени (периодические процессы) можно представить в виде совокупности наложенных гармонических колебаний.
Определение частоты колебаний
Определение
Физическая величина обратная периоду колебаний называется частотой колебаний ($\nu $). Частота колебаний - это количество полных колебаний, которые совершаются за единицу времени.
\[\nu =\frac{1}{T}\left(3\right).\]Из (2) и (3) следует, что циклическая частота равна:
\[{\omega }_0=2\pi \nu \left(4\right).\]Единицей измерения частоты в Международной системе единиц (СИ) является герц или обратная секунда:
\[\left[\nu \right]=с^{-1}=Гц.\]Герц - единица измерения частоты периодического процесса, при которой за время в одну секунду протекает один цикл процесса. Единица измерения частоты периодического процесса называется в честь немецкого ученого Г. Герца.
Циклическая частота измеряется в радианах, деленных на секунду:
\[\left[{\omega }_0\right]=\frac{рад}{с}.\]Частота дискретных событий, частота вращения
Определение
Частотой дискретных колебаний ($n$) - называют физическую величину, которая равна количеству действий (событий) в единицу времени.
Если время, которое занимает одно событие обозначить как $\tau $, то частота дискретных событий равна:
\[n=\frac{1}{\tau }\left(5\right).\]Единицей измерения частоты дискретных событий является обратная секунда:
\[\left[n\right]=\frac{1}{с}.\]Секунда в минус первой степени равна частоте дискретных событий, если за время, равное одной секунде происходит одно событие.
Частотой вращения ($n$) - называют величину, равную количеству полных оборотов, которое совершает тело в единицу времени. Если $\tau $ - время, затрачиваемое на один полный оборот, то:
\[n=\frac{1}{\tau }\left(6\right).\]Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Каковы: циклическая частота колебаний и частота колебаний величины $r$, если ее гармонические колебания заданы уравнением:
\[r=0,5{\cos \left(3\pi t+\frac{\pi }{4}\right)(м)\ .\ }\]Решение.Рассмотрим уравнение колебаний параметра $r$:
\[r=0,5{\cos \left(3\pi t+\frac{\pi }{4}\right)\left(м\right)(1.1)\ .\ }\]Из этого уравнения мы видим, что амплитуда колебаний равна $r_{max}=0,5\ (м)$; ${\omega }_0=3\pi $ ($\frac{рад}{с}$). Частоту колебаний ($\nu $) найдем, используя формулу:
\[{\omega }_0=2\pi \nu \left(1.2\right).\]Выразим $\nu $, имеем:
\[\nu =\frac{{\omega }_0}{2\pi }\ \left(1.3\right).\]Подставляя ${\omega }_0=3\pi $\textit{ }($\frac{{\rm рад}}{{\rm с}}$) получаем:
\[\nu =\frac{3\pi }{2\pi }=\frac{3}{2}\left(Гц\right).\]Ответ. ${\omega }_0=3\pi $ $\frac{рад}{с};;$ $\nu $=1,5 Гц
Пример 2
Задание. Шар массой $M$ закреплен на пружине коэффициент упругости, которой равен $k$. Шар лежит на гладкой горизонтальной поверхности (рис.1). Горизонтально летела пуля, ее скорость составляла $v_0\ $, была направлена в сторону шара и в момент удара была параллельна оси пружины, масса пули $m$. После удара о шар пуля застряла в нем. Какова частота колебаний шара, вызванных ударом пули. Шар может скользить по столу без трения. Массу пружины и сопротивление воздуха не учитывать.
Решение. После того, как пуля ударила по шарику и застряла в нем, данная система будет совершать колебания. Так как по условию задачи колебания можно считать свободными (трения нет), то колебания шарика (с пулей) на пружине являются свободными и гармоническими, их можно описать как, например изменение координаты шарика, который примем за материальную точку:
\[x=x_m{\sin \left({\omega }_0t+\varphi \right)\left(2.1\right).\ }\]В таких колебаниях кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию и наоборот, поэтому можно записать закон сохранения энергии в виде:
\[\frac{(m+M)v^2_m}{2}=\frac{kx^2_m}{2}\ \left(2.2\right),\]где $\frac{(m+M)v^2_m}{2}$ - кинетическая энергия системы в момент, сразу следующий за ударом, скорость шарика с пулей максимальна; $\frac{kx^2_m}{2}$ - потенциальная энергия сжатой пружины в момент максимального ее сжатия, когда шарик с пулей перестаёт двигаться.
Амплитуду скорости колебаний найдем как:
\[v_x=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(x_m{sin \left({\omega }_0t+\varphi \right)=x_m{\omega }_0{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\to v_m=\ }x_m{\omega }_0(2.3).\ }\]Подставим $v_m$ в (2.2), имеем:
\[\frac{(m+M){x_m}^2{{\omega }_0}^2}{2}=\frac{kx^2_m}{2}\to {\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m+M}}\left(2.4\right).\]Применим выражение:
\[\nu =\frac{{\omega }_0}{2\pi }\ \left(2.5\right).\]Найдем частоту колебаний системы:
\[\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m+M}}.\]Ответ. $\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m+M}}$
Читать дальше: частота.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
