Давление идеального газа - это один из самых важных макроскопических параметров, при помощи которого характеризуют состояние системы в молекулярной физике.
Давление идеального газа
Определение давления идеального газа
Определение
Обозначают давление буквой $p$. Если для известной массы идеального газа определены давление и температура (или объем), то полагают, что состояние термодинамической системы в состоянии равновесия определяется однозначно, так как существующие законы и уравнения молекулярно кинетической теории (МКТ) позволяют все остальные параметры вычислить.
В общем случае давление определяют как:
\[p={\mathop{\lim }_{\Delta S\to 0} \frac{\Delta F_n}{\Delta S}\ }\left(1\right),\]где $F_n$ проекция силы на нормаль к поверхности S данная сила оказывает воздействие, $\Delta S$- площадь поверхности.
Идеальный газ оказывает давление на стенки сосуда, в котором он находится, за счет того, что молекулы этого газа движутся и ударяются о стенки сосуда. Давление идеального газа можно найти, применяя основные положение МКТ. При этом получают, что давление идеального газа равно:
\[p=\frac{1}{3}nm_0{\left\langle v_{kv}\right\rangle }^2\left(2\right),\]где $m_0$ - масса одной молекулы газа; $n$- концентрация молекул газа; $\left\langle v_{kv}\right\rangle =\sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits^N_{i=1}{v^2_i}},\ N\ $- количество молекул в объеме газа равном $V$. Уравнение (2) называют основным уравнением МКТ. Его можно записать в другом виде, используя среднюю кинетическую энергию молекул ($\left\langle E_k\right\rangle $):
\[p=\frac{2}{3}n\left\langle E_k\right\rangle \left(3\right).\]С таким важным термодинамическим параметром как термодинамическая температура давление связывает формула:
\[p=nkT\ \left(4\right),\]где $k$ - постоянная Больцмана. Уравнение (4) называют уравнением состояния идеального газа.
Если проводить изохорный процесс ($V=const$) с некоторой массой идеального газа, то давление его будет подчинено закону Шарля:
\[p_2=p_1\frac{T_2}{T_1}\left(5\right),\]где $p_1$- давление газа имеющего температуру $T_1$.
При проведении изотермического процесса ($T=const$) c постоянной массой некоторого газа поведение давления можно характеризовать, используя уравнение:
\[p_1V_1=p_2V_2\left(6\right).\]В соответствии с законом Дальтона давление смеси газов можно найти как сумму давлений каждого газа:
\[p=\sum\limits^N_{i=1}{p_i}\ \left(7\right),\]где $p_i$ - давление каждого газа в отдельности.
Уравнения МКТ, содержащие давление идеального газа
Уравнение Менделеева - Клапейрона (еще один вариант уравнения состояния):
$pV=\frac{m}{\mu }RT$(8),где $\frac{m}{\mu }=\nu $ -количество вещества; $m$ - масса газа; $\mu $- молярная масса газа; $R$ - универсальная газовая постоянная.\textit{}
Определение работы газа в термодинамике:
\[A=\int\limits^{V_2}_{V_1}{pdV}\left(9\right).\]Соответственно, первое начало термодинамики для идеального газа в дифференциальном виде запишем как:
\[\delta Q=pdV+\frac{i}{2}\nu RdT\left(10\right),\]где $i$ - число степеней свободы молекулы газа; $\delta Q$ - элементарное количество теплоты, которое получает идеальный газ; $\frac{i}{2}\nu RdT=dU$ - изменение внутренней энергии термодинамической системы.\textit{}
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. В идеальном газе проводят процесс, при котором $p=\frac{AU}{V},$ где $U$ - внутренняя энергия газа; $A=const$ для определенного газа. Сравните коэффициенты пропорциональности $A$, если в первом случае газ одноатомный, во втором двух атомный. \textit{}
Решение. Внутренняя энергия идеального газа для любого процесса равна:
\[U=\frac{i}{2}\nu RT\ \left(1.1\right).\]Состояние идеального газа описывает уравнение Менделеева - Клайперона:
\[pV=\nu RT\ \left(1.2\right).\]Подставим правую часть уравнения, которое описывает заданный в условиях задачи процесс ($p=\frac{AU}{V}$) вместо давления в (1.2), имеем:
\[\frac{AU}{V}V=\nu RT\ \left(1.3\right).\]Получим из (1.3), что внутренняя энергия вычисляется как:
\[U=\frac{1}{A}\nu RT\left(1.4\right).\]Сравним выражения для внутренней энергии (1.1) и (1.4), имеем:
\[\frac{i}{2}=\frac{1}{A}\left(1.5\right).\]Для одноатомного газа $i=3$; для двухатомного газа (без учета колебаний молекул) $i=5$.
\[\frac{3}{2}=\frac{1}{A_1};;\ \frac{5}{2}=\frac{1}{A_2}\to \frac{A_2}{A_1}=\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{5}=\frac{3}{5}.\]Ответ. $\frac{A_2}{A_1}=\frac{3}{5}$
Пример 2
Задание. На рис.1 представлены процессы, проводимые с постоянной массой идеального газа, укажите, как изменяются давления в процессах?
Решение. Уравнение процесса можно аналитически описать уравнением:
\[V(T)=AT-B\ \left(2.1\right),\]где $A$ и $B$ положительные постоянные величины.
Состояние газа определим при помощи уравнения Менделеева - Клапейрона:
\[pV=\nu RT\ \left(2.2\right).\]Вместо объема подставим уравнение процесса в (2.2):
\[p\left(AT-B\right)=\nu RT\left(2.3\right).\]Раздели обе части (2.3) на температуру:
\[\frac{p\left(AT-B\right)}{T}=\nu R\to p\left(A-\frac{B}{T}\right)=\nu R\to p=\frac{\nu R}{A-\frac{B}{T}}\ \left(2.4\right).\]Из уравнения (2.4) следует, что при увеличении температуры $\frac{B}{T}$ уменьшается, следовательно, знаменатель дроби правой части выражения (2.4) увеличивается, значит, давление уменьшается.
Ответ. Давление в заданном процессе уменьшается.
Читать дальше: диэлектрический гистерезис.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
