• Главная
• Справочник
• Физика

Амплитудная дифракционная решетка

С его помощью можно проводить периодическую модуляцию световой волны по амплитуде и фазе. Дифракционная решётка предназначена для спектрального анализа, нахождения длин волн.

Амплитудные дифракционные решетки

Рассмотрим одномерную дифракционную решетку, состоящую из $N$ параллельных равноотстоящих щелей (ширина щели равна $a$) и непрозрачных участков. Период решетки обозначим $d$ (рис.1). Свет, попадающий на решетку, будем считать монохроматическим.

В случае нормального падения света на амплитудную решетку разность хода ($\Delta $) для соседних прозрачных участков составляет:

\[\Delta =d\ sin\ \varphi \left(1\right).\]

Сдвиг по фазе при этом ($\delta $) будет:

\[\delta =\frac{2\pi \Delta }{\lambda }=\frac{2\pi dsin\varphi }{\lambda }=2\pi \cdot d\cdot u\left(2\right),\]

где $u=\frac{sin\varphi }{\lambda }$ - величина, названная пространственной частотой;$\ \lambda $ - длина волны падающего света. Световое поле найдем как:

\[E=E_1+\frac{E_1}{e^{i\delta }}+\frac{E_1}{e^{i2\delta }}+\frac{E_1}{e^{i3\delta }}+\dots =E_1\frac{1-e^{-2iN\delta }}{1-e^{-i\delta }}\left(3\right),\]

где $E_1$ - амплитуда поля, после прохождения одной щели; выражение (3) представляет собой геометрическую прогрессию. Угловое распределение интенсивности света, который дифрагировала через решетку:

\[\ I=I_0I_1I_N=I_0{\left[\frac{{\sin \left(\pi au\right)\ }}{\pi au}\right]}^2{\left[\frac{{\sin \left(N\pi du\right)\ }}{\pi du}\right]}^2\left(4\right),\]

где $I_0$ - интенсивность падающего света, $I_1$ - интенсивность прошедшего света, (для одной щели). $I_N$ - интенсивность света при наложении нескольких лучей. Все пучки света обладают равной интенсивностью.

Интенсивность света после дифракционной решетки

Максимальная интенсивность света после дифракции получается в направлениях:

\[dsin{\varphi }_m=m\lambda \ или\ \frac{sin{\varphi }_m}{\lambda }=u=\frac{m}{d},\ m=0,\ \pm 1,\pm 2\dots \left(5\right),\]

то у функции $I_N\ $ числитель и знаменатель будут равны нулю.

Принимая во внимание:

\[{\mathop{\lim }_{\delta \to 0} \left|\frac{sinN\delta }{sin\delta }\right|\ }=N\left(6\right),\]

имеем:

\[I_m=I_0N^2d^2\frac{{sin}^2(\frac{\pi ma}{d})}{{(\pi ma)}^2}=\frac{N^2}{m^2}\frac{I_0d^2}{{\pi }^2a^2}{sin}^2\left(\frac{\pi ma}{d}\right)\left(7\right).\]

Если будет выполняться условие главных максимумов (условие 5), то интенсивность света, совершающего дифракцию на решетке, которая имеет $N$ щелей, растет в $N^2$ раз. Данный результат получен в результате многолучевой интерференции световых лучей, прошедших сквозь регулярную структуру. Выражение (7) говорит о том, что интенсивность главных максимумов уменьшается с увеличением порядка максимума. По мимо этого, $I_m\sim \frac{d}{a}$ -это целое число. Главные максимумы порядков $\frac{d}{a}$, 2$\frac{d}{a}$, ..., совпадают с минимумами дифракции на одной щели, получаем, что их интенсивность равна нулю. Например, при $\frac{d}{a}=2$ прозрачная и непрозрачная части взаимно равны, при этом спектр решетки обладает исключительно главными максимумами нулевого и нечетных порядков.

Дифракционная решетка, имеющая $N$ щелей, порождает на отрезках между главными максимумами $(N-1)$ минимум и $(N-2)$ добавочных максимума. При увеличении числа $N$ дополнительными максимума обычно пренебрегают, так как они имеют малую интенсивность.

При наклонном падении волны на решетку не равна нулю пространственная частота:

\[u=\frac{{{\sin \varphi \ }}_0}{\lambda }\left(8\right).\]

При этом условие главных максимумов принимает вид:

\[d\left(sin\varphi -sin{\varphi }_0\right)=m\lambda \left(9\right).\]

Свойства амплитудной дифракционной решетки

Свойства дифракционной решетки характеризуют при помощи следующих параметров:

1. Угловой дисперсии (D):
\[D=\frac{\delta \varphi }{\delta \lambda }=\frac{m}{dcos\varphi }\left(10\right).\]
2. Разрешающей способности (R):
\[R=\frac{\lambda }{\delta {\lambda }_{min}}=mN\left(11\right),\]

где $\delta {\lambda }_{min}$ - минимальная разность длин волн, которая разрешается решеткой.

1. Дисперсионной областью $\Delta \lambda $:
\[\Delta \lambda =\frac{\lambda }{m}\left(12\right).\]

На практике амплитудные дифракционные решетки применяют редко, так как они дают слабую светосилу рабочих максимумов. Основная доля энергии света падает на центральный максимум ($m=0$), который не интересен при изучении спектра.

Примеры задач с решением

Читать дальше: бозоны и фермионы.