• Главная
• Справочник
• Физика

Определение центра масс

При исследовании поведения систем частиц, часто удобно использовать для описания движения такую точку, которая характеризует положение и движение рассматриваемой системы как единого целого. Такой точкой служит центр масс.

Для однородных тел обладающих симметрией центр масс часто совпадает с геометрическим центром тела. В однородном изотропном теле одной выделенной точке найдется симметричная ей точка.

Радиус-вектор и координаты центра масс

Предположим, что у нас имеются две частицы с равными массами, им соответствуют радиус-векторы: ${\overline{r}}_1\ и\ {\overline{r}}_2$ . В этом случае центр масс расположен посередине между частицами. Центр масс (точка C) определён радиус-вектором ${\overline{r}}_C$ (рис.1).

Из рис.1 видно, что:

\[{\overline{r}}_C=\frac{{\overline{r}}_1+\ {\overline{r}}_2}{2}\left(1\right).\]

Можно ожидать, что вместе с геометрическим центром системы радиус-вектор, которого равен ${\overline{r}}_C,$ играет роль точка, положение которой определяет распределение массы. Ее определяют так, чтобы вклад каждой частицы был пропорционален ее массе:

\[{\overline{r}}_C=\frac{{\overline{r}}_1m_1+\ {\overline{r}}_2m_2}{m_1+m_2}\left(2\right).\]

Радиус -вектор ${\overline{r}}_C$, определенный выражением (2) - средне взвешенная величина радиус-векторов частиц ${\overline{r}}_1$ и ${\overline{r}}_2$. Это становится очевидным, если формулу (2) представить в виде:

\[{\overline{r}}_C=\frac{m_1}{m_1+m_2}{\overline{r}}_1+\frac{m_2}{m_1+m_2}{\overline{r}}_2\left(3\right).\]

Выражение (3) показывает, что радиус-вектор каждой частицы входит в ${\overline{r}}_C$ с весом, который пропорционален его массе.

Выражение (3) легко обобщается для множества материальных точек, которые расположены произвольным образом.

Если положения N материальных точек системы задано при помощи их радиус-векторов, то радиус - вектор, определяющий положение центра масс находим как:

\[{\overline{r}}_c=\frac{\sum\limits^N_{i=1}{m_i{\overline{r}}_i}}{\sum\limits^N_{i=1}{m_i}}\left(4\right).\]

Выражение (4) считают определением центра масс системы.

При этом абсцисса центра масс равна:

\[x_c=\frac{\sum\limits^N_{i=1}{m_ix_i}}{\sum\limits^N_{i=1}{m_i}}\left(5\right).\]

Ордината ($y_c$) центра масс и его аппликата ($z_c$):

\[y_c=\frac{\sum\limits^N_{i=1}{m_iy_i}}{\sum\limits^N_{i=1}{m_i}}\left(6\right).\] \[z_c=\frac{\sum\limits^N_{i=1}{m_iz_i}}{\sum\limits^N_{i=1}{m_i}}\left(7\right).\]

Формулы (4-7) совпадают с формулами, которые используют для определения тяжести тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Скорость центра масс

Выражение для скорости центра масс (${\overline{v}}_c=\frac{d{\overline{r}}_c}{dt}$) запишем как:

\[{\overline{v}}_c=\frac{m_1{\overline{v}}_1+m_2{\overline{v}}_2+\dots +m_n{\overline{v}}_n}{m_1+m_2+\dots +m_n}=\frac{\overline{P}}{M}\left(8\right),\]

где $\overline{P}$ - суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (8) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Примеры задач на определение центра масс

Читать дальше: период и частота колебаний.