Период - это отрезок времени, которое необходимо для совершения одного цикла периодического процесса.
Периодом ($T$) колебаний называют время, за которое совершается одно полное колебание.
Период и частота колебаний
Период колебаний
Определение
За время равное периоду колебаний фаза изменяется на величину равную $2\pi $, поэтому:
\[T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\left(1\right).\]Разные периодические процессы, (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить в виде совокупности наложенных гармонических колебаний.
Гармонические колебания некоторого параметра $\xi $ описываются уравнением:
\[\xi =A{\cos ({\omega }_0t+\varphi )\ }\ \left(2\right),\]где $A={\xi }_{max}$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая (круговая) частота колебаний; $\varphi $ - начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $({\omega }_0t+\varphi )$ - фаза колебаний. Величина $\xi $ лежит в пределах $-A\le s\le $+A.
Формулы для вычисления периода простейших колебательных систем
Период колебаний пружинного маятника определим как:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\ \left(3\right),\]на упругой пружине, жесткость которой равна $k,$ подвешен груз массой $m$.
Период колебаний математического маятника зависит от ускорения свободного падения ($g$) и длины подвеса ($l$)
\[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(4\right).\]Формула для вычисления периода колебаний физического маятника представляет собой выражение:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{J}{mga}\left(5\right),}\]где $J$ - момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ - расстояние от центра масс тела до оси вращения.
Единицами измерения периода служат единицы времени, например секунды.
\[\left[T\right]=c.\]Частота колебаний
Определение
Физическая величина обратная периоду колебаний называется частотой колебаний ($\nu $).
Частота - это количество полных колебаний, которые колебательная система совершает за единицу времени.
\[\nu =\frac{1}{T}\left(6\right).\]Частота колебаний связана с циклической частотой как:
\[{\omega }_0=2\pi \nu \left(7\right).\]Единицей измерения частоты в Международной системе единиц (СИ) является герц или обратная секунда:
\[\left[\nu \right]=с^{-1}=Гц.\]Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Каковы период ($T$) и частота ($\nu $) колебаний, которые происходят в соответствии с уравнением: $x=A{\sin ({\omega }_0(t+\tau ))\ }$, где ${\omega }_0=2,5\ \pi \ (\frac{рад}{с})$; $\tau =0,4\ $с?
Решение. Из уравнения колебаний:
\[x=A{\sin \left({\omega }_0\left(t+\tau \right)\right)\left(1.1\right),\ }\]заключаем, что это гармонические колебания, так как они происходят по закону синуса следовательно, они являются периодическими. Период найдем, зная циклическую частоту колебаний:
\[T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\left(1.1\right).\]Подставляя имеющиеся данные, вычислим период колебаний:
\[T=\frac{2\pi }{2,5\pi }=0,8\ \left(с\right).\]Частоту колебаний найдем как величину, обратную периоду:
\[\nu =\frac{1}{T}\left(1.2\right).\]Вычислим частоту:
\[\nu =\frac{1}{0,8}=1,25\ \left(Гц\right).\]Ответ. $T=0,8$ с; $\nu =1,25\ Гц$
Пример 2
Задание. Какими будут период и частота малых колебаний тонкого обруча, который висит на гвозде (точка А), вбитом горизонтально в стену (рис.1)? Колебания совершаются в плоскости параллельной стене. Радиус обруча R.
Решение. В этой задаче мы имеем дело с физическим маятником период которого, найдем, используя формулу:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{J}{mga}\left(2.1\right).}\]Осью вращения обруча является гвоздь, находящийся в точке А. Цент масс обруча находится в его геометрическом центре, точке О, следовательно, расстояние от центра масс до оси вращения обруча (рис.1) равно:
\[a=R\ \left(2.2\right).\]Найдем момент инерции обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча, проходящей через точку $A$. Для этого воспользуемся теоремой Штейнера:
\[J=J_0+mR^2\ \left(2.3\right),\]где $J_0=mR^2$ - момент инерции обруча, относительно оси, проходящей через его центр (т.О), перпендикулярно плоскости обруча; расстояние между осями равно радиусу обруча. Получаем, момент инерции обруча относительно гвоздя равен:
\[J=mR^2+mR^2=2mR^2\left(2.4\right).\]Используя формулы (2.1) (2.2) и (2.4), имеем:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{2mR^2}{mgR}}=2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}.\]Отталкиваясь от полученного результата, найдем частоту колебаний как:
\[\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{2R}}.\]Ответ. $T=2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}},$ $\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{2R}}$
Читать дальше: полная энергия колебаний.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
