Физическая величина, называемая работой силы (или просто работой), используется в механике, как численная характеристика обмена энергиями между телами при их взаимодействии.
Определение работы в физике
Работа в механике
Определение
Допустим, что тело перемещается по прямой линии, и на него действует постоянная сила ($\overline{F}$), образующая угол $\alpha $ с направлением перемещения тела ($\overline{s}$), тогда работа ($A$) этой силы определяется как:
\[A=\overline{F}\overline{s}=Fs{\cos \alpha \ \left(1\right).\ }\]Из формулы (1) следует, что при $\alpha <\frac{\pi }{2}$ работа силы положительна, в этом случае проекция силы на направление перемещения совпадает с направлением вектора скорости движения тела. При $\alpha =90{}^\circ $ $A=0\ (Дж)$.
Если сила не является постоянной величиной то формулу (1) для нахождения механической работы не применяют. Тогда все перемещение тела делят на элементарные отрезки ($d\overline{s}$) на каждом из которых силу можно считать постоянной, а движение точки приложения силы прямолинейным. В этом случае элементарной работой ($dA$) силы $\overline{F}$ на перемещении $d\overline{s}$ называют скалярную величину, которая равна:
\[dA=\overline{F}d\overline{s}=Fds{\cos \alpha \ }\left(2\right),\]где $\alpha $ - угол между векторами $\overline{F\ }и\ d\overline{s}$; $ds$ - модуль элементарного пути. Совокупную работу силы на участке траектории от первой рассматриваемой точки до второй находят как алгебраическую сумму элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках. Обычно сумму заменяют интегралом, тогда:
\[A=\int\limits^2_1{dA=\int\limits^2_1{Fds{cos \alpha \ }\left(3\right).}}\]Для того чтобы вычислить интеграл (3) следует знать зависимость силы от пути по траектории на рассматриваемом участке. При графическом задании силы от пути, работу находят как площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью абсцисс, сверху графиком F(s), справа и слева ординатами крайних точек.
Термодинамическая работа
В термодинамике работу определяют как:
\[A=\int\limits^{V_2}_{V_1}{pdV(4)},\]где $V_1$ - начальный объем термодинамической системы; $V_2$ - ее конечный объем. Работа считается положительной, если ее выполняет сама термодинамическая система над внешними силами, например, газ расширяется и совершает работу.
Работу можно определить, применив первое начало термодинамики:
\[A=\Delta Q-\Delta U\ \left(5\right),\]где $\Delta Q$ - количество теплоты, получаемое системой; $\Delta U$ - изменение ее внутренней энергии. Для идеального газа, рассматриваемого в качестве термодинамической системы, то формулу (5) записывают как:
\[A=\Delta Q-\frac{i}{2}\nu R\Delta T\ (6),\]где $i$ - число степеней свободы молекулы идеального газа; $\nu =\frac{m}{\mu }$ - количество вещества; $m$ - масса газа; $\mu $ - молярная масса газа; $R$ - универсальная газовая постоянная; $\Delta T$ - изменение температуры газа в рассматриваемом процессе. Уравнения (5), (6) приведены в интегральном виде.
Элементарная работа идеального газа ($\delta A$) равна:
\[\delta A=pdV\ \left(7\right).\]Первое начало термодинамики в дифференциальном представляет собой уравнение:
\[\delta A=\delta Q-\frac{i}{2}нRdT\ \left(8\right).\ \]Работу (в любом разделе физики) в Международной системе единиц (СИ), измеряют в джоулях (Дж):
\[\left[A\right]=1Н\cdot 1м=1Дж.\]Один джоуль - это работа, которую совершает сила в один ньютон на пути один метр.
Связь работы и кинетической энергии тела
Если кинетическая энергия тела изменяется, то элементарная работа может быть определена бесконечно малое приращение кинетической энергии ($dE_k$) тела:
\[dA=dE_k\left(9\right).\]Работу силы на конечном участке пути найдем как разность значений кинетической энергии в конечной и начальной точках траектории:
\[A=E_{k2}-E_{k1}\left(10\right).\]Выражение (10) справедливо для тела, движущегося с любой скоростью, при неизменной энергии покоя.
Работа консервативной силы
Если работа силы не зависит от формы траектории движения тела, а определяется координатами начала и конца траектории, то такую силу называют консервативной. К консервативным силам относят: силу Кулона, силу гравитации; силу упругости. Работа консервативной силы равна нулю, если траектория движения замкнута.
Существуют диссипативные силы, работа которых зависит от формы траектории движения тела, например силы трения. Работа диссипативной силы по замкнутой траектории не равна нулю. Так, работа силы трения всегда меньше нуля, поскольку сила направлена против перемещения.
Работа консервативных сила равна изменению потенциальной энергии ($E_p$) системы взаимодействующих тел: \[{A=E}_{p1}-E_{p2}\left(11\right).\]
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Объем идеального газа изменяется в соответствии с графиком рис.1. Какую работу совершает газ, при изменении его температуры на величину $\Delta T$ в этом процессе?
Решение. Из рис.1 следует, что объем идеального газа изменяется в соответствии с уравнением:
\[V=\frac{b}{T}\left(1.1\right),\]где $b-\ $некоторая постоянная. Работу газа в заданном процессе определим как:
\[A=\int\limits^{V_2}_{V_1}{pdV\ \left(1.2\right).}\]Из уравнения процесса имеем:
\[dV=-\frac{b}{T^2}dT\to A=-\int\limits^{T_2}_{T_1}{p\frac{b}{T^2}dT\left(1.3\right).\ }\]$\ $Так как процесс проводят с идеальным газом, то воспользовавшись уравнением Менделеева - Клайперона:
\[pV=\nu RT(1.4)\]выразив из него давление, подставим в подынтегральное выражение (1.2), при этом учтем (1.1):
\[A=-\int\limits^{T_2}_{T_1}{\nu RT\cdot \frac{T}{b}\frac{b}{T^2}dT=-\ \nu R\int\limits^{T_2}_{T_1}{dT=-\nu R\Delta T}.}\]Ответ. $A=-\nu R\Delta T$
Пример 2
Задание. Запишите выражение для работы силы, которая задана уравнением $F\left(x\right)=Ax^2+Bx,$ где $A$ и $B$ постоянные величины, на пути $s_1$, если тело вдоль оси X из начала координат?
Решение. Из уравнения $F\left(x\right)$, заданного в условии задачи мы видим, что сила не является неизменной величиной при движении тела по оси X, это означает, что работу необходимо искать, применяя определение в виде:
\[A=\int\limits^2_1{\overline{F}d\overline{s}}\left(2.1\right).\]Так как в условии написано, что тело движется по оси X, сила и перемещение сонаправлены, воспользовавшись уравнением изменения силы $F(x)$ вычисли интеграл:
\[A=\int\limits^2_1{Fdx}=\int\limits^{s_1}_0{(Ax^2+Bx)dx}=\frac{{As_1}^3}{3}+B\frac{{s_1}^2}{2}.\]Ответ. $A=\frac{{As_1}^3}{3}+B\frac{{s_1}^2}{2}$
Читать дальше: определение центра масс.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
