Весь аргумент периодической функции (в данном случае косинуса:$\ ({\omega }_0t+\varphi )$), описывающей колебательный процесс, называют фазой колебаний.
Начальная фаза
Рассмотрим гармонические колебания некоторого параметра $\xi $. Гармонические колебания описываются уравнением:
\[\xi =A{\cos ({\omega }_0t+\varphi )\ }\ \left(1\right),\]где $A={\xi }_{max}$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая (круговая) частота колебаний. Параметр $\xi $ лежит в пределах $-A\le \xi \le $+A.
Определение начальной фазы колебаний
Определение
Весь аргумент периодической функции (в данном случае косинуса:$\ ({\omega }_0t+\varphi )$), описывающей колебательный процесс, называют фазой колебаний. Величина фазы колебаний в начальный момент времени, то есть при $t=0$, ($\varphi $)- носит название начальной фазы. Устоявшегося обозначения фазы нет, у нас начальная фаза обозначена $\varphi $. Иногда, чтобы подчеркнуть, что начальная фаза относится к моменту времени $t=0$ к букве, обозначающей начальную фазу, добавляют индекс 0, пишут, например, ${\varphi }_0.$
Единицей измерения начальной фазы является единица измерения угла - радиан (рад) или градус.
Зная амплитуду колебаний и фазу, используя уравнение (1), определяют механическое состояние системы. В начальный момент времени состояние системы определяют амплитуда колебаний и начальная фаза.
Значения амплитуды и начальной фазы задаются в начальных условиях, это означает, что они зависят от способа возбуждения колебаний.
Фазы колеблющейся величины, ее скорости и ускорения
Возьмем первую производную от параметра $\xi $, совершающего гармонические колебания:
\[\frac{d\xi }{dt}=\frac{d}{dt}\left[A{cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }\right]=-A{\omega }_0{\sin \left({\omega }_0t+\varphi \right)=\ }A{\omega }_0{cos \left({\omega }_0t+\varphi +\frac{\pi }{2}\right)\left(2\right).\ }\]Тогда вторая производная от $\xi $ задается функцией:
\[\frac{d^2\xi }{dt^2}=-A{{\omega }_0}^2{cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)=-{{\omega }_0}^2\xi =A{{\omega }_0}^2cos\left({\omega }_0t+\varphi +\pi \right)\left(3\right).\ }\]Уравнения (2) и (3) показывают, что скорость и ускорение $\xi $ совершают гармонические колебания с циклической частотой ${\omega }_0$. Амплитуды данных колебаний равны:
\[{\left(\frac{d\xi }{dt}\right)}_{max}=A{\omega }_0;;\ {\left(\frac{d^2\xi }{dt^2}\right)}_{max}=A{{\omega }_0}^2\left(4\right).\]Фаза скорости (${\omega }_0t+\varphi +\frac{\pi }{2}$) отличается от фазы ускорения (${\omega }_0t+\varphi +\pi $) на величину равную $\frac{\pi }{2}$. Фаза ускорения отлична от фазы колеблющейся величины на $\pi $. Это значит, что в тот момент времени, когда $\xi =0$ скорость ее изменения ($\frac{d\xi }{dt}$) становится максимальной. При $\xi $ равной наибольшему значению меньшему нуля, ее ускорение превращается в максимальное положительное.
Метод векторных диаграмм
Гармонические колебания можно изобразить при помощи графического ( метод векторных диаграмм). Для этого из произвольно избранной точки О на оси X под углом, равным начальной фазе ($\varphi )$, откладывается вектор $\overline{A}$. Модуль которого равен амплитуде ($A$) колебаний. Если этот вектор приводить во вращение с угловой скоростью ${\omega }_0$, то проекция конца этого вектора перемещается по оси X и принимает значения от $-A$ до $A$. Законом колебаний, будет уравнение (1).
И так, гармонические колебания можно изобразить с помощью проекции на некоторую ось вектора амплитуды $\overline{A}$, который отложен из произвольной точки этой оси под углом $\varphi $, вращающимся с угловой скоростью ${\omega }_0$ вокруг избранной точки.
Сложение колебаний и начальная фаза
Тело, совершающее колебания, может участвовать в нескольких колебательных процессах. В таком случае возникает необходимость выяснить, каким будет результирующее колебание.
Допустим, что два колебания с одинаковыми частотами происходят по одной прямой. Уравнением результирующих колебаний будет выражение:
\[\xi ={\xi }_1+{\xi }_2=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right),\ }\]тогда амплитуда результирующего колебания равна:
\[A=\sqrt{A^2_1+A^2_2+2A_1A_2{\cos \left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\ }\left(5\right),}\]где $A_1$; $A_2$ - амплитуды складывающихся колебаний; ${\varphi }_2;;{\varphi }_1$ - начальные фазы суммирующихся колебаний. При этом начальную фазу полученного колебания ($\varphi $) вычисляют, применяя формулу:
\[tg\ \varphi =\frac{A_1{\sin {\varphi }_1+A_2{sin {\varphi }_2\ }\ }}{A_1{\cos {\varphi }_1+A_2{cos {\varphi }_2\ }\ }}\left(6\right).\]Уравнение траектории точки, которая принимает участие в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами $A_1$и $A_2$ и начальными фазами ${\varphi }_2и{\varphi }_1$ имеет вид:
\[\frac{x^2}{A^2_1}+\frac{y^2}{A^2_2}-\frac{2xy}{A_1A_2}{\cos \left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\ }={sin}^2\left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\left(7\right).\]В случае равенства начальных фаз составляющих колебаний уравнение траектории имеет вид:
\[y=\frac{A_2}{A_1}x\ или\ y=-\frac{A_2}{A_1}x\ \left(8\right),\]что говорит о движении точки по прямой линии.
Если разность начальных фаз складываемых колебаний составляет $\Delta \varphi ={\varphi }_2-{\varphi }_1=\frac{\pi }{2},$ уравнением траектории становится формула:
\[\frac{x^2}{A^2_1}+\frac{y^2}{A^2_2}=1\left(9\right),\]что означает, траектория движения эллипс.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Материальная точка движется по закону: $x=A{\cos \left[\omega (t+\tau )\right]\ }$, где $\omega =\pi \ \frac{1}{с}$, $\tau =0,1\ с.$ Какова начальная фаза колебаний?
Решение. Для того чтобы найти начальную фазу вспомним форму записи закона, по которому происходят гармонические колебания, если гармонически изменяется параметр $x$, то запишем:
\[x=A{\cos ({\omega }_0t+\varphi )\ }\ \left(1.1\right),\]где $\varphi $ - искомая начальная фаза колебаний. Сравним выражение (1.1) с законом колебаний, который приведен в условии задачи:
\[x=A{\cos \left[\omega (t+\tau )\right]\ }\ \left(1.2\right).\]Используем известные параметры колебаний: $\omega =\pi \ \frac{1}{с}$, $\tau =0,1\ с$, выражение (1.2) преобразуем к виду:
\[x=A{\cos \left[\pi \left(t+0,1\right)\right]=A{\cos \left(180{}^\circ t+0,1\cdot 180\right)=\ }\ }A{\cos \left(180{}^\circ t+18{}^\circ \right)\left(1.3\right).\ }\]Из выражения (1.3), следует, что начальная фаза равна $\varphi =18{}^\circ $.
Ответ. $\varphi =18{}^\circ $
Пример 2
Задание. Каково уравнение траектории движения точки, если она участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, которые заданы уравнениями:
\[\left\{ \begin{array}{c} x=2{\sin \pi t\ (см);;\ } \\ y={\cos \left[\pi \left(t+0,5\right)\right]\left(см\right).\ } \end{array} \right.\]Траекторию изобразите.
Решение. Рассмотрим заданные уравнения колебаний:
\[\left\{ \begin{array}{c} x=2{\sin \pi t\ \left(см\right);;\ } \\ y={\cos \left[\pi \left(t+0,5\right)\right]\left(см\right)\ } \end{array} \left(2.1\right).\right.\]Из первого уравнения системы мы видим, что начальная фаза первого колебания равна нулю (${\varphi }_1=0$)
Второе уравнение системы преобразуем к виду:
\[y={\cos \left[\pi \left(t+0,5\right)\right]=\ }{\cos \left(\pi t+\pi \cdot 0,5\right)={\cos \left(\pi t+\frac{\pi }{2}\right)=-{\sin \left(\pi t\right)=-\frac{1}{2}\ }\ }x\left(2.2\right).\ }\]Начальная фаза колебаний ${\varphi }_2=\pi $.
Из уравнения (2.2) видим, что уравнение:
\[y=-\frac{1}{2}x\]это уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис.2):
Ответ. $y=-\frac{1}{2}x$. При разности начальных фаз перпендикулярных колебаний ${\varphi }_2-{\varphi }_1=\pm \pi $ результирующее движение представляет собой гармоническое колебания вдоль прямой $y=-\frac{A_2}{A_1}x$
Читать дальше: определение работы в физике.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
