Одним из наиболее значимых параметров для анализа условного распределения является условное матожидание. Оно позволяет оценить наиболее вероятную область появления случайной величины по усреднённому её значению при некоторых сторонних условиях.
Определение 1
Чтобы задать условное матожидание появления некоторого события необходимо также наличие условия для появления этого события. При рассмотрении двумерной или многомерной случайной величины таким условием может выступать значение, которое принимает вторая случайная величина.
В этом случае принято обозначение:
M(Y/X=x)
Условное матожидание для случайной величины дискретного типа можно вычислить по следующей формуле:
$M(Y/X=x)=\sum_{i=1}^n y_i\cdot p(y_i/x)$
Условное матожидание для случайной величины непрерывного типа определяется согласно следующему выражению:
$M(Y/X=x)=\int_{-\infty}^{+\infty} y\cdot f(y/x)dy$
Здесь f(x) —плотность вероятности Y при условии выполнения X=x.
Определение 2
Условное матожидание может быть определено и как функция от x. Такую функцию принято называть «функцией регрессии Y на X». Здесь используется обозначение:
$M(Y/x)=\phi (x)$
Похожим же образом устанавливается условное матожидание и для X. В этом случае речь уже идёт о «функции регрессии X на Y». Используется обозначение:
$M(X/y)=\psi (y)$
Пример 1
Найти параметр условного матожидания элемента Y двумерной случайной величины, если $X=x_1=1$, а сама величина является дискретной и задаётся следующим образом:
Y\X $x_1=1$ $x_2=3$ $x_3=4$ $x_4=8$
$y_1=3$ 0,15 0,06 0,25 0,04
$y_2=6$ 0,30 0,10 0,03 0,07
Вычислим значение вероятности событий, происходящих, в случае выполнения исхода $X=x_1$
$p(x_1)=0,15+0,30=0,45$
Далее найдём условные вероятности для событий с исходами $y_1$ и $y_2$. В зависимости от исхода $x_1$ получим следующие значения:
$p(y_1/x_1)=\frac {p(x_1,y_1)}{p(x_1)}=\frac{0,15}{0,45}=\frac{1}{3}$
$p(y_1/x_1)=\frac {p(x_1,y_1)}{p(x_1)}=\frac{0,15}{0,45}=\frac{1}{3}$
Теперь можно вычислить и математическое ожидание исхода события y при $X=x_1$:
$ M(Y/X=x_1) =\sum_{i=1}^2 y_i \cdot p(y_i/x_1) = y_1 \cdot p(y_1/x_1)+y_2\cdot p(y_2/x_1)= \frac{3}{3} + \frac{12}{3}= 1+4=5 $
Итак, результат вычислений показывает, что матожидание исхода Y при $X=x_1$: $ M(x)=5$.
Условное математическое ожидание обладает набором свойств, соответствующим набору безусловного матожидания. С ним также можно осуществлять математические операции, которые позволяют лучше преобразовывать уравнения, при поиске решений прикладных задач.
Свойство 1
Матожидание взятое от константы, то есть величины постоянной, будет равно самой этой же величине.
$M(C)=C$
Свойство 2
Если берётся матожидание от случайной величины умноженной на постоянную, то данную постоянную можно вынести за обозначение матожидания.
$M(CX)=C\dot M(X)$
Свойство 3
Матожидание от сложения или вычитания двух независимых случайных величин, можно представить как сложение или вычитание самих матожиданий от этих величин, взятых по отдельности.
$M(X\pm Y)=M(X) \pm M(Y)$
Свойство 4
Если берётся матожидание от двух случайных величин умноженных друг на друга, то его можно представить как умноженные друг на друга математические ожидания от данных величин взятые по отдельности.
$M(X\cdot Y)=M(X) \cdot M(Y)$
Свойство 5
Матожидание от суммы или разности случайной величины и константы, постоянной величины, можно представить в виде суммы или разности самого матожидания от случайной величины и этой же константы.
$M(X\pm С)=M(X) \pm С $
Если в системе случайные величины являются независимыми, то условное матожидание совпадает с безусловным.
Пример 2
Пусть существует двухэлементная случайная величина непрерывного характера (,). Она задаётся плотностью вероятности:
$f(x,y)=\frac{sinx \cdot siny}{4}$.
В области $0\leq x\leq\pi$ и $0\leq y\leq\pi$, вне её значение плотности вероятности будет: f(x,y)=0.
Решение
Применим формулы подходящие для отыскания плотностей вероятности двуэлементных случайных величин:
$f_1(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dy$
$f_2(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dx$
С их помощью не трудно установить, что плотности вероятностей будут выражены следующим образом:
$f_1(x)=sin(x/2)$,
$f_2(y)=sin(y/2)$.
Для системы в целом плотность вероятностей совместная получается равной умноженным друг на друга плотностям вероятностей отдельно взятых случайных величин, входящих в систему. Поэтому данные случайные величины могут считать независимыми.
Пример 3
Для посещения казино игрок берёт с собой сумму денег m рублей. Вероятность, что за одну игру он остаётся в выигрыше на 1 рубль, составляет p. Вероятность, что игрок потеряет один рубль в одной игре составляет q=1-p. Если игрок остаётся без денег — проигрывает все свои накопления, то он покидает казино. Если же игрок приобретает сумму N, которая больше изначальной m, то игрок также уходит. Необходимо определить среднее время, в течении которого игра будет продолжаться.
Решение
Для удобства введём случайную величину t(m), значение которой будет соответствовать количеству партий, сыгранных в случае, когда используется первоначальная сумма денег m. При этом конечная сумма, при выигрыше которой игрок уходит из казино, является фиксированной и равной числу N.
Введём новое обозначение, пусть случайная величина $k_0$ получает значение 1 при выигрыше партии и значение 0 при проигрыше. Тогда мы можем записать выражение для математического ожидания количества сыгранных партий, она будет выражена как:
$Mt(m)=M(t(m))k_0=p(1+Mt(m+1))+q(1+Mt(m-1))=1+pMt(k+1)+qMt(k-1)$
Так как выполняется условие
$t(N)=t(0)=0$
То в результате преобразований при $p\neq q$, получим следующее решение
$Mt(k)=\frac{1}{p-q}\left[ N \cdot \frac{(q/p)^m-1}{(q/p)^N-1} -m\right]$
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
