Рассмотрим событие некоторое А. Допустим, что это такое событие, которое наступает только при выполнении какого-либо несовместного события $В_1, В_2, В_3… В_n$. Причём данные события образуют полную группу событий. Предположим, что нам известные вероятности каждого из событий $B_i$, где i от 1 до n, тогда определим каким образом можно вычислить вероятность события А.
Теорема о вычислении полной вероятности
Вычислить вероятность события А, которое может наступить только при выполнении одного из совместных условий (событий) $В_1, В_2, В_3… В_n$, составляющих полную группу, можно путём сложения выражений, где вероятность события $B_i$ умножена на условную вероятность события А, зависящую от события $B_i$.
$P(A)=P(B_1)P_{B_1}(A)+ P(B_2)P_{B_2}(A) + P(B_3)P_{B_3}(A) + … + P(B_n)P_{B_n}(A)$.
Представленная формула также известна как формула полной вероятности.
Доказательство
Согласно условию теоремы наступление события А привязано к наступлению любого из несовместных событий $B_i$. Это значит, что при наступлении А, также можно гарантированно заявить о наступлении одного из событий типа $B_iА$. Тогда из теоремы сложения следует следующее выражение:
$P(A)=P(B_1А)+ P(B_2А) + P(B_3А) + … + P(B_nА)$.
Задача сужается и появляется только необходимость рассчитать каждое из полученных слагаемых. Мы можем произвести их вычисление с помощью теоремы умножения вероятностей для зависимых событий. Подставляя условия данной теоремы получаем следующие выражения:
$ P(B_1А)=P(B_1)P_{B_1}(A);$
$ P(B_2А)=P(B_2)P_{B_2}(A);$
$ P(B_3А)=P(B_3)P_{B_3}(A);$
…
$ P(B_nА)=P(B_n)P_{B_n}(A);$
Теперь для подстановки в исходное выражение используем правые части полученных формул. Проделав это мы получим выражение, которое в точности совпадает с заявленной ранее формулой полной вероятности:
$ P(A) = P(B_1 )P_{B_1}(A) + P(B_2)P_{B_2}(A) + P(B_3)P_{B_3}(A) + … + P(B_n)P_{B_n} (A) $.
Пример 1
На складе появились новые товары, которые были поставлены с трёх разных заводов. Известно каким заводом поставлено какое число товаров в процентном отношении от общего их количества на складе. Так от первого завода пришло 20% товаров. От второго завода — 30% товаров. От третьего завода было поставлено 50% всех товаров. Кроме того, есть разделение по качеству и известно, что от всего количества товаров первого завода к высшему сорту относится 10%, от второго завода 5%, третий завод поставил от общего количества своих товаров 20% высшего качества. Требуется установить какова вероятность получить товар высшего сорта.
Пусть В — это событие, означающее что приобретён товар высшего сорта. Событиями $A_1, A_2, A_3$ обозначим те случаи, когда покупаются товары каждого из заводов. $A_1$ — покупка продукции первого завода, $A_2$ — использована продукция второго завода, $A_3$ — выбраны товары, которые были получены с третьего завода
В наших обозначениях получим вероятности для выполнения событий $A_1, A_2, A_3$:
$P(A_1)=0,2$
$P(A_2)=0,3$
$P(A_3)=0,5$
Также отдельно можем записать и другие выражения, для вторых слагаемые, представляющих собой условные вероятности события В, при условии выполнения событий $A_1, A_2, A_3$.
$P(B|A_1)=0,1$
$P(B|A_2)=0,05$
$P(B|A_3)=0,2$
Теперь, для решения описанной в условии примера задачи, надо лишь полученные числа подставить в формулу полной вероятности, тогда
$Р(В)=0,2\cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,05 + 0,5 \cdot 0,2 = 0,135$
Итог: вероятность получить на складе продукцию высшего качества составляет 0,135.
Пример 2
У рабочего есть два вида изделий. Вероятность события, заключающегося в соответствии стандарту изделия первого вида, составляет 0,7. Для второго вида вероятность — 0,8. Необходимо вычислить вероятность события, при котором любая случайно взятое иизделие окажется соответствующей стандарту.
Чтобы решить данную задачу определим событие «выбрано стандартное изделие» как А. Заметим, что при отборе изделия рабочим, оно может быть взята как первого вида, так и второго. Данные события также отдельно обозначим как $В_1$ и $В_2$. Вероятность наступления событий выбора изделия первого или второго типа считаем равными, а сами события составляющими полную группу для момента выбора. Вероятность взять с полки изделие первого типа составляет $P(В_1)$=1/2. Аналогично вероятность взять изделие второго типа составляет $P(В_2)$=1/2.
Теперь мы отдельно выпишем значения условных вероятностей. Все заданные нам в задаче параметры, касающиеся соответствия изделия стандарту, являются как раз условными вероятностями, на которые мы можем сослаться только при выполнении условия А. Таким образом, уточняем выражения и получаем, что вероятность получения стандартного изделия, при выборе первого вида, составляет $P_{В_1}(А)$=0,7. Вероятность взять стандартное изделие второго вида $P_{В_1}(А)$=0,8.
Осталось определить вероятность события получения случайной стандартной детали. Она рассчитывается исходя из формулы полной вероятности:
$P(A) = P(В_1)P_{B_1}(А) + P(В_2)P_{B_2}(А) = 0,5 \cdot 0,7+ 0,5\cdot 0,8 = 0,75$
Итоговый ответ: вероятность события составляет 0,75.
Пример 3
Пусть имеется два ящика с резисторами. В первом лежит 20 резисторов, из которых 18 линейных. В другом же ящике находится 10 резисторов и 9 из них являются линейными. Затем случайным образом из второго ящика достанем резистор и поместим его в первый ящик. Теперь, после перекладки, необходимо рассчитать вероятность случайным образом вытащить из первого ящика линейный резистор.
Пусть А — это получение из первого ящика линейного резистора. $B_1$ — получение линейного резистора при перекладывании из второго ящика в первый. $B_2$ — получение нелинейного.
Рассчитаем вероятности данных событий:
$ P(В_1)=9/10$
$ P(В_2)=1/10$
Теперь запишем условные вероятности для обоих случаев
$P_{B_1}(А)=19/21$
$P_{B_2}(А)=18/21$
Получив все необходимые данные можем тут же применить формулу полной вероятности
$P(A) = P(В_1)P_{B_1}(А) + P(В_2)P_{B_2}(А) = (9/10)\cdot (19/21)+ (1/10)\cdot (18/21) = 0,9]
Полученный ответ: вероятность вынуть линейный резистор составляет 0,9.
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
