Один из вариантов формулировки Закона больших чисел утверждает теорема Чебышева. Она устанавливает, что, при наличии ограничений для матожиданий нескольких независимых друг от друга случайных величин, с ростом количества случайных наблюдается сходимость значений этих матожиданий к их среднему арифметическому.
Теорема Чебышева.
Пусть существует n независимых, либо попарно независимых, случайных величин. Обозначим их как $ X_1, X_2, X_3… X_n$. При этом соблюдается условие, что их дисперсии являются ограниченными неким постоянным числом k. Тогда, насколько бы малым не оказалось k, вероятность того, что верным окажется неравенство
$|\frac {X_1+ X_2+ X_3+… X_n}{n} - \frac {M(X_1)+ M(X_2)+ M(X_3)+… M(X_n)}{n}|<k$
Будет равняться единице.
Либо, если записать как единое выражение, будет соблюдаться
$\lim_{n \rightarrow \propto}P(|\frac {X_1+ X_2+ X_3+… X_n}{n} - \frac {M(X_1)+ M(X_2)+ M(X_3)… +M(X_n)}{n}|<k)=1$
Доказательство теоремы
Обозначим средние арифметические матожиданий и случайных величин следующим образом:
$\overline{X}=\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n};$
$M(\overline{X})=\frac{M(X_1)+M(X_2)+...+M(X_n)}{n};$
Используем неравенство Чебышева:
$P(|\frac {X_1+ X_2+ X_3… +X_n}{n} - \frac {M(X_1)+ M(X_2)+ M(X_3)… +M(X_n)}{n}|<k)\geq1-\frac{D\frac{X_1+X_2+ X_3… +X_n}{n}}{k^2}$
Применяя одно из свойств дисперсии получим:
D(\frac {X_1+ X_2+ X_3… +X_n}{n})=\frac{1}{n^2}[D(X_1)+...+ D(X_n)]\leq \frac {c\cdot n}{n^2}=\frac{c}{n}
Преобразуя данное выражение получим получаем:
$P(|\frac {X_1+ X_2+ X_3… +X_n}{n} - \frac {M(X_1)+ M(X_2)+ M(X_3)… +M(X_n)}{n}|<k)\geq1-\frac{c}{nk^2}_{n\rightarrow\propto}\rightarrow1$
Что и требовалось доказать.
Таким образом Чебышев смог установить важную закономерность, которая теперь широко используется для изучения случайных процессов, лежит в основе проведения экспериментальных исследований, а также применяется для анализа их результатов. Закономерность заключается в том, что при увеличении количества случайных величин (с ограниченными дисперсиями) их распределение утрачивает случайный характер и стремится к определённому постоянному параметру.
При доказательстве теоремы предполагается, что у случайных величин различаются математические ожидания, однако на практике, например при многократном проведении одного и того же испытания, математическое ожидание всех случайных величин будет совпадать. К таким случайным величинам точно так же применима теорема Чебышева.
Дополнительная формулировка теоремы Чебышева
При существовании набора случайных величин $ X_1, X_2, X_3… X_n$, являющих независимыми попарно, а также обладающих одинаковым матожиданием, обозначим его q, при любых значениях k>0, неравенство
$ |\frac {X_1+ X_2+ X_3… +X_n}{n} - q|<k $
будет верным. То есть для данной формулировки будет выполняться
$\lim_{n \rightarrow \propto}P(|\frac {X_1+X_2+ X_3… +X_n}{n} - q|<k)=1$
Основная идея теоремы Чебышева заключается в том, что, несмотря на значительный разброс отдельных случайных величин, при росте их числа разброс среднего арифметического будет мал. Теорема Чебышева одинаково выполняется как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.
Практическое использование
Теорема Чебышева — это не голая теория, это инструмент, который имеет широкое практическое применение. При любых физических экспериментах, в которых идёт выявление некоторой величины, осуществляют большое количество измерений, а за конечный результат принимают среднее арифметическое значение от всех полученных измерений. Проанализируем с точки зрения формулировки теоремы справедливость её применения к подобному случаю.
Допустимо рассматривать исход каждого отдельного измерения, как отдельную же случайную величину из ряда $ X_1, X_2, X_3… X_n$. Для них справедливо будет использовать теорему Чебышева в том случае, когда они соответствуют следующим трём условиям:
- Их дисперсии имеют равномерное ограничение.
- Их математическое ожидание одинаково.
- Величины являются как минимум попарно независимыми.
Первое условие в ходе физического эксперимента выполняется за счёт естественного ограничения, задаваемого точностью используемых измерительных приборов. Второе будет верно, если в ходе испытания не допускается никаких систематических ошибок. Третье требование выполнено, когда ни один результат измерений не зависит от других. При соблюдении всех условий получим, что исходы отдельных испытаний хоть и будут различны, но распределение их будет чётко ограничиваться и ко всем исходам можно применить выражение
$|\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}-q|<k$
Оно будет выполняться при больших значениях n. То есть, чем больше будет проведено испытаний, тем достовернее окажется полученный результат. Но, вместе с тем, при увеличении количества испытаний не повысится точность вычисления исхода, так как она в свою очередь зависит от погрешности используемого прибора.
Пример 1
Пусть даны 3000 случайных величин, дисперсия каждой из которых является меньшей 6. Требуется дать оценку вероятности того, что отклонение их среднего арифметического от их матожидания будет меньше, чем 0,5.
Решение
Применим теорему Чебышева и подставим в неё известные значения
$D(X_i)\leq 5=C, X=\frac{1}{n}\sum X_i, i=\overline{1,n}$
из условия, получим предварительную запись:
$P(|\frac {X_1+ X_2+ X_3+… +X_n}{n} - \frac {q_1+q_2+q_3+… +q_n)}{n}|\leq k)\geq1-\frac{C}{nk^2}$
Зная, что m=3000, k=0,5 вычисляем
$P(|\frac {X_1+ X_2+ X_3+… +X_{3000}}{3000} - \frac {q_1+q_2+q_3+… +q_{3000})}{3000}|\leq 0,5)\geq1-\frac{6}{3000\cdot{0,4}^2}=0,9875$
В итоге получено, что вероятность данного события составляет не менее 0,9875
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 453 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример 2
Известно, что при разнице между средним арифметическим матожиданий и средним арифметическим самих величин не более чем 0,6, вероятность составляет 0,7. При этом значение дисперсии каждой отдельной случайной величины не более 9. Требуется вычислить количество случайных величин.
Решение
Согласно условию, записываем
$P(|\frac {X_1+ X_2+ X_3+… +X_{n}}{n} - \frac {q_1+q_2+q_3+… +q_{n})}{n}|\leq 0,5)=0,8 , D(X_i)\leq7=C, i=\overline{1,n}$
Возьмём из теоремы Чебышева выражение
$P(|\frac {X_1+ X_2+ X_3+… +X_{n}}{n} - \frac {q_1+q_2+q_3+… +q_{n})}{n}|\leq k)\geq 1- \frac{D(X)}{k^2}$
Так как в условии $D(X_i)\leq7=C, i=\overline{1,n},$, то
$P(|\frac {X_1+ X_2+ X_3+… +X_{n}}{n} - \frac {q_1+q_2+q_3+… +q_{n})}{n}|\leq k)\geq 1- \frac{C}{nk^2}$
Подставим в него все необходимые величины из условия:
$1- \frac{9}{n{0,6}^2}=0,7$
$\frac{9}{n{0,6}^2}=0,3$
$\frac{1}{n}=\frac{0,6^2\cdot 0,3}{9}$
n=(\frac{0,6^2\cdot 0,3}{9})^{-1}=83
Ответ: получим 83 случайных величины.
