Содержание:
Закон больших чисел был многократно сформулирован в разное время. Одно из первых и самых простых его выражений принадлежит учёному из Швейцарии Якобу Бернулли. Именно он дал ясное определение давно наблюдаемой на практике закономерности. Формула, которую вывел математик, позволяет уменьшить количество вычислительных операций, что упрощает расчёты при большом количестве экспериментов и большом количестве используемых случайных величин полученных в ходе этих экспериментов.
Теорема Бернулли
Предположим было осуществлено m экспериментов, в любом из них может появиться событие B с некоторой вероятностью P. Если эта вероятность не изменяется от эксперимента к эксперименту, то достоверным можно считать утверждение, что при очень большом количестве испытаний относительная частота будет стремиться к значению вероятности.
$P(|\frac{m}{n}-p|<k)=1$
Доказательство
Утверждение теоремы Бернулли может быть доказано с помощью теоремы Чебышева. Пусть результатами измерений в рамках эксперимента стали дискретные случайные величины $ X_1, X_2, X_3… X_n$. Каждая из них характеризует событие B в испытаниях от 1 до n, соответственно. Каждая из представленных величин может иметь всего два значения. В случае если она равна 1, то событие B наступало, если равняется 0, то не наступало. При этом вероятности будут вычисляться как p — для наступления события B, q=1-p — если событие B не случилось.
Так как эксперименты проводились совершенно независимо друг о друга и никак друг на друга не влияли, то все полученные случайные величины $ X_1, X_2, X_3… X_n$ будут независимыми. Ограничения на дисперсию данных величин накладывается исходя из того, что дисперсия может быть рассчитана как произведение $p\cdot q$. А так как при этом p+q=1, то наибольшее значение каждого из них в таком случае будет $\frac{1}{2} $то и произведение примет максимальное значение $p\cdot q=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} =\frac{1}{4}$. То есть дисперсия является величиной неограниченной как минимум постоянной k=$\frac{1}{4}$.
Необходимые условия выполнены, а значит мы можем использовать для дальнейших расчётов теорему Чебышева.
$\lim_{n \rightarrow \propto}P(|\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}-b|<k)=1$
По той причине, что матожидания b всех случайных величин, заданных в условии, являются одинаковыми и равными значению вероятности p, то преобразуем выражение до следующего вида:
$\lim_{n \rightarrow \propto}P(|\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}-p|<k)=1$
Теперь покажем, что $\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}$ представляет собой не что иное, как искомое m/n. Согласно заданному условия, любая из величин ряда $ X_1, X_2, X_3… X_n$ в эксперименте будет принимать значение единица, а значит и их сумма будет соответствовать количеству реализаций события b, то есть $X_1+X_2+...+X_n$ равна числу m. То есть получаем
$\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}=\frac{m}{n}$
И окончательно выражение примет вид:
$\lim_{n \rightarrow \propto}P(|\frac{m}{n}-p|<k)=1$
Примечание
Теорема Бернулли — частный случай теоремы Чебышева
Используя теорему Бернулли не нужно делать заключение, будто бы при увеличении количества экспериментов происходит приближение относительной частоты к теоретической вероятности. Из данной теоремы вовсе не следует формула:
$\lim_{n \rightarrow \propto}\frac{m}{n}=p$
На самом деле в теореме Бернулли вопрос ставится иначе. В ней утверждается только лишь то, что вероятность самого отличия относительной частоты от теоретической вероятности события в любом эксперименте стремится принять максимальное (для вероятности) значение — единицу.
Данное понимание необходимо, чтобы четко отделить сходимость вероятности события, от сходимости самого события. Для данного случая вводится специальное выражение «сходимость по вероятности». Смысл подобного разграничивания понятий заключается в том, что при сходимости k/m к p, в какой-то определённый момент для любых значений m начнёт в обязательном порядке выполняться неравенство $|\frac{m}{n}-p|<k$. Если речь идёт о сходимости по вероятности, то для некоторых, взятых отдельно m, данное выражение необязательно должно реализовываться.
Определение неизвестных вероятностей с помощью эксперимента – распространённый способ изучения явлений случайного характера. Так, например, изучая совпадение теоремы, выведенной Бернулли, с реальным опытом, учёные провели множество экспериментов. Например, ещё в восемнадцатом веке француз Бюффон провёл опыт по подбрасыванию монеты. Он подкинул её 4040 раз, при этом получил решку 1992 раза, то есть вероятность её появления составила 0,493. Дальше пошёл англичанин Пирсон. Сначала он провёл эксперимент, в котором подбрасывал монету 12 тысяч раз. Он получил решку 5981 раз, что составило относительную частоту в 0,4984. Затем учёный усложнил эксперимент и подбросил монету 24 тысячи раз. Количество выпадений решки составило 11988 раз, а относительная частота была вычислена как 0, 4995. Так было очевидно показано, что чем больше проводится элементарных опытов, тем ближе относительная частота к теоретической вероятности 0,5.
Пример 1
Издатель выпустил на рынок новую книгу и на начальном этапе считается, будто вероятность негативного впечатления читателя незначительна. Необходимо определить количество людей, которых требуется опросить, чтобы установить следующие факт — вероятность, что относительная частота негативного отношения читателя к новой книге может не совпадать с определяемой издателем на 0,01, должна составлять 0,9.
Решение
Определим количество человек — n, для которых будет верно следующее неравенство:
$P(|\frac{w}{n}|\leq k)\geq b$,
где b=0,9, а k=0,01.
Получаем, что необходимое значение n можно определить с помощью неравенства:
$n\geq\frac{1}{4}\cdot\frac{X_b^2}{k^2}$
Здесь мы имеем $Х_b$ — значение, которое будет принимать случайная величина при заданной заранее вероятности. Имеем, что, согласно нормальному закону распределения, при вероятности 0,9 $Х_b$=1,65, а значит
$n\geq\frac{1}{4}\cdot\frac{1,65^2}{0,01^2}$
Получаем, что требуемое значение, соответствующее количеству людей, которых надо опросить, составляет 6806.
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
