Допустим существует случайная величина X. Считаем, что она является непрерывной, а её значения определяются на промежутке (a,b). Тогда у такой величины имеется некоторая функция распределения F(x). Первая же производная данной функции $F'(x)= f(x)$ и будет называться плотностью распределения для случайной величины непрерывного характера.
Содержание:
Изучая способы определения случайных величин непрерывного характера приходится сталкиваться с понятием, называемым «плотность вероятности». Чтобы понять её вероятностный смысл, в первую очередь следует запомнить, что этот параметр не является тем же самым, что и функция распределения. Ведь функция распределения соответствует вероятности, а плотность распределения является вспомогательной характеристикой параметром, которая формально определяет скорость изменения функции распределения.
Определение 1
Одно из основных качеств плотности распределения напрямую вытекает из её определения. Оно заключается в том, что значение функции распределения соответствует определённому интегралу от плотности распределения на промежутке от минус бесконечности до заданного значения непрерывной случайной величины:
$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)dt$
Необходимо отметить, что понятие плотности распределения вероятности применяется только для случайных величин непрерывного характера, для дискретных данное понятие не имеет смысла и не используется.
Теорема 1
Определённый интеграл взятый от плотности вероятности в пределах от a до b соответствует значению вероятности события, заключающегося в том, что случайная величина Х (непрерывная) попадёт в промежуток (a,b):
$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)dt$
Доказательство
Рассмотрим вероятность попадания случайной величины Х в промежуток (a,b) — $P\left\{a<X<b\right\}$. Для неё будет верно следующее выражение:
$P\left\{a<X<b\right\}=F(a)-F(b)$ , где
$F(a)= \int_{-\infty}^{a} f(x)dx$ ,
$F(b)= \int_{-\infty}^{b} f(x)dx$.
Подставляя данные формулы, тогда первоначальное выражение примет следующий вид:
$P\left\{a<X<b\right\}=F(a)-F(b)=\int_{-\infty}^{b} f(x)dx - \int_{-\infty}^{a} f(x)dx$.
Так как
$\int_{-\infty}^{b} f(x)dx - \int_{-\infty}^{a} f(x)dx=\int_{a}^{b} f(x)dx$.
То в итоге получим:
$P\left\{a<X<b\right\}=\int_{a}^{b} f(x)dx$.
Что и требовалось доказать.
Основные свойства плотности распределения
Плотность вероятности имеет широкое практическое применение, поэтому, чтобы грамотно использовать данный параметр для решения задач, важно знать, какими свойствами она обладает.
Свойство 1
Значение плотности вероятности всегда больше, либо равно нуля: $f(x)\geq0$.
Доказательство
Данное утверждение нетрудно доказать используя свойства производной. Функция распределения является не убывающей — она возрастает, либо остается постоянной, что следует из определения функции распределения. А значит её производная всегда будет величиной неотрицательной. Так как производной функции распределения является плотность вероятности, то утверждение о неотрицательном характере функции вполне применимо и к ней.
Свойство 2
Если рассматривать несобственный интеграл от плотности вероятности на всей числовой прямой, то есть в промежутке, который можно обозначить как $(-\infty;\infty\)], то его значение будет равно единице.
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=1$
Доказательство
Рассмотрим $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx$. Его значение — это вероятность того, что случайное событие X окажется равным какому-либо числу из промежутка $(-\infty;\infty)$. Такое событие является достоверным, ведь промежуток охватывает все возможные вещественные числа. Вероятность же достоверного события равна единице, значит выражение $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=1$ верно.
Пример 1
Пусть имеется случайная величина Y, для которой плотность вероятности задана функцией $f(y)=\frac{b} {e^{y}+e^{-y}}$. Требуется вычислить величину b.
Решение
Согласно второму свойству плотности вероятности должно выполняться следующее условие:
$\int_{-\infty}^{\infty} f(y)dy=1$.
Исходя из этого подставим имеющуюся формулу и получим следующее выражение:
$b\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dy} {e^{y}+e^{-y}}=1$.
Преобразуя его, приходим к следующей форме:
$b=\frac{1}{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dy} {e^{y}+e^{-y}}}$
Теперь вычислим получившийся интеграл, как неопределённый:
$\int_{}^{}\frac{dy}{e^{y}+e^{-y}}=\int_{}^{}\frac{e^ydy}{e^{2y}+1}=arctg (e^y)$
Проведём необходимые вычисления для несобственного интеграла:
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dy}{e^{y}+e^{-y}}=\lim_{m \rightarrow -\infty}\int_{m}^{0}\frac{dy}{e^{y}+e^{-y}}+\lim_{k \rightarrow \infty}\int_{0}^{k}\frac{dy}{e^{y}+e^{-y}}=\lim_{m \rightarrow -\infty}(-arctg (e^m))+\lim_{k \rightarrow \infty}(arctg (e^k))=\pi\diagup2$
Таким образом, для параметра, который требуется найти в задаче, получим: $b=\frac{1}{\pi\diagup2}=\frac{2}{\pi}$
Геометрические свойства плотности вероятности
Плотность вероятности f(x) определяется только для непрерывных случайных величин и представляет собой одну из форм закона распределения. В этом смысле, практика её использования схожа с применением функции распределения F(x). График плотности распределения носит название «кривая распределения».
Определение 2
Понимание геометрического смысла плотности распределения помогает вычислить вероятность попадания случайной величины в заранее заданный интервал значений, например в интервал (a,b). Вероятность такого события соответствует площади фигуры заключённой между графиком функции плотности вероятности, осью 0X, а также ограниченной прямыми линиями x=a, а также x=b.
Другая трактовка геометрического смысла плотности вероятности состоит в том, что если на графике зависимости плотности вероятности от случайной величины выбрано какое-либо конкретное значение случайной величины «a», то площадь под графиком (площадь фигуры заключённой между кривой распределения и осью 0X) в промежутке от $(-\infty; a)$ будет соответствовать значению функции распределения в данной точке, а значит соответствовать вероятности того, что случайная величина х попадёт в интервал $(-\infty; a)$.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
