Содержание:

Помимо одномерных случайных величин, существуют и другие их типы. Значения в таких случаях могут определяться не одной, а двумя, тремя или любым другим количеством переменных. Двумерные случайные величины можно обозначить как (X,Y). При этом и X, и Y являются независимыми случайными величинами.

Определение 1

Допустим даны две случайные величины X, Y. Они называются системой, если рассматриваются совместно в рамках одного эксперимента. Каждая из величин по отдельности именуется «составляющей» или «компонентой системы».

Случайные величины, которые мы включаем в такую систему могут относиться как к дискретным, так и к непрерывным, в этом смысле нет никаких ограничений. Такую систему, состоящую из двух элементов можно представить в виде точки на плоскости. Три компонента соответствуют точке в пространстве. Свойства системы будут задаваться свойствами как отдельных компонентов, так и особенностями их взаимосвязей.

Пример 1

Рассмотрим совокупность элементарных исходов, состоящих в том, что из 28 фишек домино случайным способом выбирается какая-либо одна. Тогда, при выпадении фишки, случайная величина X будет соответствовать сумме чисел на ней, а Y произведению данных чисел.

Например, если выпадает фишка 2/5, то x=7, а y=10.

Закон распределения 

Для многомерных случайных величин так же как и для одномерных могут быть определён закон распределения и установлена функция распределения.

Определение 2

Если речь идёт о дискретных случайных величинах двумерного типа, то для них закон распределения будет записываться как совокупность вероятностей, соответствующих каким-либо двум исходам. Один из исходов соответствует первой случайной величине, другой —второй случайной величине.

$\sum_i^n\sum_j^m P_{ij}=1; \sum_j^m P{ij}=P(X=x_j); \sum_i^n P{ij}=P(Y=y_j).$

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью таблицы, в которой указываются значения вероятностей, соответствующих двум исходам — один по случайной величине Х, другой по Y.

Определение 3

Возьмём двойную случайную величину вида (X,Y). Для неё вводится понятие функция распределения F(x,y), которое означает вероятность события, что случайная величина X будет иметь значение от минус бесконечности до x, а случайная величина Y будет также лежать в части числовой прямой от минус бесконечности до y. Запись соответствующая данному утверждению будет выглядеть так:

F(x,y)=P{X<x,Y<y}.

Плотность вероятности

Для двухэлементной случайной величины непрерывного характера можно дать определение такого параметра, как плотность вероятности.

Определение 4

Для совместных случайных величин X и Y существует параметр плотность вероятностей, который задаётся как вторая частная производная смешанного типа от функции распределения указанных случайных величин.

$f(x,y)=\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y}$

При этом саму функцию распределения можно вычислить согласно следующей формуле:

$F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(x,y)dxdy$


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 455 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Пусть будут рассмотрены две случайные величины X и Y. Допустим, что для них задана плотность вероятности:

$f(x,y)=\frac{B}{(4+x^2)(4+y^2)}$

Требуется вычислить коэффициент B. Определить функцию распределения F(x,y). 

Решение

Для вычисления коэффициента B воспользуемся свойством плотности вероятности, заключающемся в том, что 

$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1$

Подставим значение для плотности вероятности в имеющуюся формулу, получим:

$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{B}{(4+x^2)(4+y^2)}dxdy=B\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dy}{(4+y^2)} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(4+x^2)}=B\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dy}{(4+y^2)}\cdot \left(\frac{1}{2}arctg\frac{x}{2}\right)|_{-\infty}^{+\infty}=\frac{B}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dy}{(4+y^2)}\cdot \left(\frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{2}\right)=\frac{B\cdot \pi}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dy}{(4+y^2)}=\frac{B\cdot \pi}{4}\cdot \left(arctg\frac{y}{2}\right)|_{-\infty}^{+\infty}=\frac{B\cdot \pi}{4}\cdot \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{B\cdot \pi^2}{4}$

Таким образом, становится известно, что значение искомой величины можно выразить как:

$\frac{B\pi^2}{4 }=1 $

Далее делаем вывод, что 

$ B=\frac{4}{\pi^2} $

То есть сама плотность распределения имеет вид:

$f(x,y)= \frac{4}{\pi^2 \cdot (4+x^2)(4+y^2)} $

На следующем этапе решения вычислим функцию распределения. Она задаётся следующим выражением:

$F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(k,l)dkdl$

Подставим в него известное выражение для плотности вероятности:

$F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}\frac{4}{\pi^2 \cdot (4+k^2)(4+l^2)} dkdl=\frac{4}{\pi^2}\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}\frac{1}{(4+k^2)(4+l^2)} dkdl = \frac{4}{\pi^2}\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{(4+k^2)} dk \int_{-\infty}^{y}\frac{1}{(4+l^2)}dl$

После преобразования проинтегрируем

$ \frac{4}{\pi^2}\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{(4+k^2)} dk \int_{-\infty}^{y}\frac{1}{(4+l^2)}dl= \frac{4}{\pi^2}\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{(4+k^2)} dk \cdot\left( \frac{1}{2} \cdot arctg\frac{l}{2}  \right)|_{-\infty}^y=\frac{2}{\pi^2}\cdot\left(arctg\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2}  \right)\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{(4+k^2)} dk = \frac{2}{\pi^2}\cdot\left(arctg\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2}  \right) \left(\frac{1}{2}arctg\frac{k}{2}\right)|_- \infty ^x=\frac{2}{\pi^2}\cdot\left(arctg\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2}  \right) \cdot\left(arctg\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}  \right)$

В итоге получим функцию распределения в виде:

$F(x,y)=2\left( \frac{1}{\pi}arctg\frac{y}{2}+\frac{1}{2} \right)\left( \frac{1}{\pi}arctg\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \right)$