Неравенство Чебышева

Содержание:

• Значение неравенства Чебышева
• Использование для решения задач

В рамках теории вероятности известным математиком Чебышевым был выведен ряд закономерностей. Одна из них отражена в неравенстве, носящем его имя. Это неравенство одинаково справедливо как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. 

Доказательство

Реализация выражений $|X-M(X)|<E$ и $|X-M(X)|\geq E $ возможна при двух взаимоисключающих событиях. В таком случае можно считать, что они составляют полную группу и суммарная вероятность этих событий будет равна единице.

$P(|X-M(X)|<E)+P(|X-M(X)| \geq{E} )=1$

Таким образом из данного выражения уже не сложно выделить ту часть, которая интересует нас в рамках доказательства верности формулы. Искомая вероятность будет выражена следующим способом:

$P(|X-M(X)|<E)= 1-P(|X-M(X)| \geq{E}) $

Обнаружив связь между величинами и выразив интересующее нас значение, получаем, что остаётся только определить вероятность 

$P(|X-M(X)| \geq{E})$

Чтобы выполнить эту задачу? распишем дисперсию Х:

$D(X)={[x_1-M(x)]}^2p_1+{[x_2-M(x)]}^2p_2+ ... +{[x_n-M(x)]}^2p_n$

Анализируя данное выражение можно прийти к выводу, что каждое из слагаемых будет положительно. Теперь удалим из формулы все слагаемые, для которых 

$|x_j-M(X)|<E$

Очевидно, что для сохраненных в формуле слагаемых верно

$|x_j-M(X)|\geq E$

Пусть число отброшенных слагаемых равно j, отброшены слагаемые из начала ряда, а значит теперь выражение требуется переписать в следующем виде:

$D(X) \geq{[x_{k+1}-M(x)]}^2p_{k+1}+{[x_{k+2}-M(x)]}^2p_{k+2}+ ... +{[x_n-M(x)]}^2p_n$

Следует упомянуть, что неравенство и справа и слева положительно

$|x_j-M(X)|\geq E$, при этом j=k+1,k+2, …, n 

Поэтому мы можем беспрепятственно возводить во вторую степень и при этом получим совершенно равносильное неравенство:

${|x_j-M(X)|}^2\geq E^2$

Теперь такое новое неравенство позволяет в изначальной сумме сделать замену, то есть вместо слагаемых $ {|x_j-M(X)|}^2$ записать $Е^2$. Проделав данную операцию мы преобразуем выражение и получим его в следующем виде:

D(X)\geq E^2 (p_{k+1}+p_{k+2}+ ... +p_n)

Согласно теореме сложения вероятностей, их сумма — это вероятность того, что случайная величина примет одно любое значение из ряда значений, сопоставленного вероятностям. При этом какое бы именно значение не приняла случайная величина, для всех этих значений будет выполняться неравенство

$|x_j-M(X)|\geq E$

Значит мы можем записать для суммы вероятностей:

$P(|X-M(X)| \geq{E})$

Благодаря последнему преобразованию, мы можем оформить неравенство иначе:

$ D(X)\geq E^2 P(|X-M(X)|\geq E) $

и далее

$ P(|X-M(X)|\geq E)\leq \frac {D(X)}{E^2}$

Подставляя последнее выражение в формулу для вероятности, получим:

$P(|X-M(X)|)<E)\geq 1-\frac {D(X)}{E^2}$

Именно это и необходимо было доказать.

Значение неравенства Чебышева

Применение данной формулы на практике производится редко, так как позволяет получать всего лишь неточный, либо просто ненужный результат. Оценки слишком общие и часто дают те ответы, которые и без неравенства являются очевидными. Так, например, преобразовывая выражение мы можем получить 

$D(X)>E^2$

$\frac{D(X)}{E^2}>1$

$1-\frac{D(X)}{E^2}<0$

Что показывает выведенное неравенство? Практически ничего, только то, что вероятность события не является отрицательной величиной, но это и так очевидно, без применения специального математического аппарата. При всё при этом, неравенство Чебышева имеет огромнейшее значения для теоретического знания дисциплины, изучающей вероятности и случайные величины. В частности, с помощью неравенства мы формулируем и затем доказываем теорему Чебышева, лежащую в основе закона больших чисел.

Использование для решения задач

Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 453 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Узнать стоимость