Известно, что в среднем 5% офисных работников носят портфели. Остальные пользуются рюкзаками или какими-либо другими видами сумок. Требуется вычислить вероятность события, заключающегося в том, что среди 200 офисных работников, окажется не менее 10% с портфелями.
Решение:
Запишем теорему Лапласа:
$P_n(k_2<m<k_1)\approx Ф(\frac{k_1-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}})-Ф(\frac{k_2-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}})$, где
$Ф(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{x}e^{\frac{-t^2}{2}}dt$
Выпишем параметры известные из условия:
Офисных работников 200 человек, то есть n=200.
Вероятность, что какой-либо конкретный работник носит портфель, составляет p=0,05.
Вероятность того, что работник не носит портфель: q=1-p=1-0,05=0,95.
Вычислим $ \sqrt{n \cdot p \cdot q} $:
$ \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{200 \cdot 0,05 \cdot 0,95} = \sqrt{9,5} \approx 3,08 $.
Дополнительно вычислим $ n \cdot p$:
$ n \cdot p = 200 \cdot 0,05 =10$.
Подставим вычисленные значения в формулу:
$P_n(k_1<m<k_2)\approx Ф(\frac{200-10} {3,08})-Ф(\frac{20-10} {3,08})= Ф(61,7)-Ф(3,25)$, где
Здесь следует пояснить, что в условии сказано – носящих портфель не менее 10%, значит более 20 человек придут с портфелями. Искомый интервал от 20 до 200 и $k_1=200$, $k_2=20$.
Функции Лапласа можно определить с помощью специальной таблицы, либо приближённо вычислить интеграл:
$Ф(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{x} e^{\frac{-t^2}{2}} dt$
Следует отметить особенность функции $e^{\frac{-t^2}{2}}$. При больших значениях аргумента (в данном случае t) величина будет очень небольшим числом, поэтому при увеличение x значение функции вырастет совсем немного. При вычислении функции Лапласа для x>6 значение функции принимает приближённо равным 0,5. Тогда решение примет вид:
$P_n(k_1<m<k_2)\approx Ф(61,7)-Ф(3,25) = 0,5-0,49942=0,00058=5,8\cdot 10^{-4}$.
Получили, что искомая вероятность будет очень мала, что хорошо согласуется с предварительной оценкой условия.
