Проекцией вектора $\overline{A B}$ на ось $l$ называется длина отрезка $A_{1} B_{1}$, взятая со знаком "+", если направление $\overline{A_{1} B_{1}}$ совпадает с направлением вектора $\overline{e}$, и со знаком "-", если направление $\overline{A_{1} B_{1}}$ противоположно направлению единичного вектора оси $l$ (рис. 1).
Пусть задан вектор $\overline{A B}$ и некоторая ось $l$ с единичным вектором $\overline{e}$. Точки $A_{1}$ и $B_{1}$ - проекции точек $A$ и $B$ на ось $l$ соответственно.
Определение
Проекция вектора $\overline{A B}$ на ось $l$ обозначается символом .
Свойства проекции векторов
Проекции равных векторов на одну и туже ось равны.
Вектор $\overline{A B}$ и его проекция - вектор $\overline{A_{1} B_{1}}$ - связаны следующим векторным равенством:
$\overline{A_{1} B_{1}}=\overline{e} \cdot \Pi \mathrm{p}_{l} \overline{A B}$
Проекция вектора $m \overline{a}$ на некоторую ось $l$ равна проекции на эту же ось вектора $\overline{a}$, умноженного на число $m$:
$\Pi \mathrm{p}_{l}(m \overline{a})=m \Pi \mathrm{p}_{l} \overline{a}$
Проекция вектора $\overline{a}$ на ось $l$ равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и положительным направлением оси на некоторую ось $l$:
$$\Pi p_{l} \bar{a}=|\bar{a}| \cos (\bar{a} ; l)$$Читать дальше: правая и левая тройки векторов.