Взаимно простыми числами называются числа, наибольший общий делитель которых равен 1.
Содержание:
Определение взаимно простых чисел
Определение
Общим делителем нескольких натуральных чисел называется число, являющееся делителем каждого из данных чисел. В случае если их несколько, наибольший из них называется наибольшим общим делителем (НОД).
Для нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел необходимо:
- записать каноническое разложение данных чисел;
- перечислить все общие простые множители, входящие в канонические разложения каждого из данных чисел;
- возвести каждое из перечисленных простых множителей чисел в наименьшую степень, с которой этот простой множитель входит в канонические разложения данных чисел.
Примеры решения задач
Пример
Задание. Найти НОД чисел 2520 и 5940
Решение. 1) Запишем их каноническое разложение
$2520=2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \quad 5940=2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 11$2) У этих двух чисел общими будут такие простые числа: 2, 3, 5 ;
3) Минимальная степень двойки в канонических разложениях - вторая, для 3 тоже вторая, пятерка входит в оба разложения в первой степени.
Таким образом, НОД равен: НОД (2530; 5940) $=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5=180$
Ответ. НОД (2530; 5940) $=180$
Пример
Задание. Среди перечисленных чисел указать взаимно простые числа:
11 и 29; 84 и 715; 27 и 111
Решение. В первой паре 11 и 29 каждое из чисел является простым числом, поэтому они будут взаимно простыми. Для второй пары чисел 84 и 715 найдем НОД. Их канонические разложения имеют вид
$$84=2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \quad, \quad 715=5 \cdot 11 \cdot 13$$В их канонических разложениях нет общих множителей, поэтому НОД (84; 715) = 1 , и, следовательно, они взаимно простые. Найдем теперь НОД для последней пары чисел. Их канонические разложения имеют вид $27 = 3^3$, $111 = 3 \cdot 37$, а НОД (27; 111) = 3 . Числа 27 и 111 не являются взаимно простыми.
Ответ. Взаимно простыми являются числа: 11 и 29; 84 и 715.
Читать дальше: что такое обратное число.