Содержание:

Своё название постоянная Больцмана получила по имени исследовавшего молекулярно-кинетическую теорию австрийского учёного. Он стоял у истоков этого раздела науки и сделал многое для развития молекулярно-кинетической теории. Постоянная — это константа, значение которой составляет \[1.38064852\cdot10^{-23}\frac{Дж}{К^{\circ}}\].

Определение

Постоянной Больцмана называют физическую константу, определяющую связь между температурой и тепловой энергией микрочастиц вещества.

Важно не путать данную константу и постоянную Стефана-Больцмана, которая используется при описании излучения абсолютно чёрного тела.

Людвиг Больцман был автором нескольких теорий, которые легли в основу термодинамики. Учёный долго упорно работал, чтобы люди больше узнали о характере этой науки. Одним из результатов многолетнего труда стало создание статистического принципа второго начала термодинамики.

Физики современности высоко оценивают вклад Больцмана в науку. Кроме термодинамики он также смог создать теоретическое описание такого явления, как излучение. В своих монографиях он касался также вопросов оптики и электродинамики. Достижения учёного оценены по достоинству и имя Больцмана носят целых две физических постоянных.

Научное сообщество времён Больцмана было ультраконсервативным и не принимало многие взгляды, кажущиеся сегодня естественными. Так, например, убеждения учёного о том, что вещество обладает атомно-молекулярной структурой не находило понимания. Его работы по данной тематике получали отрицательные отзывы и жестоко критиковались. Многие его коллего считали, что молекулы и атомы являются излишне абстрактной теорией.

Однако, сейчас все теории талантливого физика находят применение и широко используются в различных разделах науки. Константа Больцмана является ключевой величиной термодинамики. Для её определения можно использовать несколько различных способов, покажем некоторые из них.

Определение постоянной Больцмана используя формулу идеального газа

Значение постоянной может быть определено, если использовать формулу для описания состояний идеального газа. Проводя эксперименты не трудно установить, что при нагревании любого газа от \[Т_{0}=273 К\] до \[Т_{1}=373 К\] поменяется также и давление. Отметим его характеристики: от \[р_{0}=1,013 \cdot 10^{5}Па\] и до \[р_{0}=1,38 \cdot 10^{5}Па\].

Это не сложный эксперимент и его можно сделать даже, если в качестве рабочего тела использовать обычный воздух. Измерение температуры проводится с помощью простого термометра, а для определения давления понадобится манометр.

Во время проведения эксперимента, а также последующих вычислений важно знать — количество молекул в одном моле вещества в газообразной форме составляет \[6 \cdot 10^{23}\]. Объём же вещества при заданном давлении в 1 атм будет \[ V=22,4 л\]. Вычислив данные параметры, можно применить уравнение для состояний идеального газа, чтобы легко определить константу Больцмана.

Вычисление постоянной Больцмана с использованием формулы броуновского движения

Другой способ вычисления константы Больцмана основан на проведении эксперимента. Для этого понадобится использовать зеркало и повесить его на упругой нитке. Рассмотрим систему находящуюся в статическом равновесии. Компонентами самой системы являются зеркало и воздух. Получим, что молекулы воздуха будут ударятся о зеркало, оказывая тем самым влияние на его расположение в пространстве. Из-за этого мы можем наблюдать незначительные его перемещения. Направим пучок света на зеркало таким образом, чтобы даже при незначительных колебаниях он был способен заметно перемещаться. Тогда для его колебательных движений мы можем записать уравнение:

\[J\ddot{\phi}=-L\phi\]

Минус в уравнении означает, что направление действующего момента таково, что стремится вернуть зеркало в равновесное состояние. Домножим уравнение, его правую и левую части, а затем проинтегрируем. В результате имеем:

\[ \frac{1}{2}J\dot{\phi}^{2}+\frac{1}{2}L{\phi}^{2} = Const \]

Полученная формула соответствует условиям сохранения энергии для колебательных движений. Допустимо определять как гармонические небольшие колебания кручения, тогда записываем:

\[ \frac{1}{2}J \dot {\phi}^{2} = \frac{1}{2}L {\phi}^{2} = \frac{1}{2}kT\]

Когда модулем кручения считается L, а моментом инерции J, запись угла осуществляется как \[ \phi \], то можно составить уравнение колебаний. Из получившейся формулы, используя также выражения о сохранении энергии, можно составить соответствующую формулу:

\[ \dot {\phi}^{2} = \frac{kT} {L} \]

Измерение угла поворота \[ \phi \approx 4 \cdot10^{-6} \], определение температуры как 290 К°, получение модуля кручения \[ L\approx 10^{-15} H \cdot м \] позволяет вычислить точное значение  константы Больцмана: 

\[ k=\frac{{\phi}^{2}L}{T} \approx1,38\cdot10^{-23} \frac {Дж}{K} \]

Таким образом, умея работать с вычислениями, которые используют понятия связанные с броуновским движением, не сложено провести вычисление константы Больцмана.

Использование на практике

Используя константу Больцмана удаётся установить зависимость между характеристиками макросостояний и параметрами описывающими микросостояния. Так, можно записать связь между температурными условиями и энергетическими характеристиками, присущими молекулярному движению. Уравнение получится в следующем виде:

\[ E \geq \frac {3} {2} kT \]

Кроме того, константа Больцмана применима и в других формулах. В формулах характеризующих среднее значение энергии молекул. Она используется в формулах для идеальных газов. Записывается составной частью формул в кинетическую теорию газов, а также в многие другие выражения. Константа Больцмана позволяет рассчитать значение энтропии. Она используется также в уравнениях описывающих состояние полупроводников — показывает связь электропроводности от температурных харакетристик.

Пример 1

Задание. Требуется вычислить среднее значение энергии одной молекулы газообразного вещества, содержащего в себе количество молекул N при значениях температур Т.

Для этого примем — энергия будет одинаково распределена согласно степеням свободы каждой молекулы. А значит для любого направления движения кинетическая энергия будет равна. Запишем выражение для энергии:

\[ \epsilon_{i} \geq \frac{1}{2}kT \]

Затем, чтобы вычислить среднюю энергию используем формулу:

\[\epsilon_{i}\geq \frac {i}{2}kT \],

где значение \[i=m_{post}+m_{vr}+2m_{kol}\] — сумма степеней свободы для одной молекулы, а k — константа Больцмана.

Рассчитаем степени свободы одной молекулы:

\[m_{post}=3 m_{vr}=3 m_{kol}=3N-6 i=6+6N-12=6N-6\]

Получим значение для энергии: \[\epsilon_{i}\geq \frac{ 6N-6} {2}kT = (3N-3)kT \] Это и будет решением поставленного вопроса. В конце получим энергию \[\epsilon = (3N-3)kT \].

Ответ. \[\epsilon = (3N-3)kT \]


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 461 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Задание. Исходные данные: Имеется состав из двух газов, считающихся идеальными. Значение их плотности в условиях, соответствующих нормальным, принимаем за \[\rho\]. Требуется отыскать концентрацию газа — одного из двух в составе смеси. Также нам даны молярные массы каждого из газов: \[ \mu_{1}\] и \[\mu_{2} \]

Чтобы решить данную задачу рассчитаем суммарную массу смеси:

\[ m = pV = N_{1}m_{01}+N_{2}m_{02} = \]

\[ n_{1}Vm_{01}+n_{2}Vm_{02}\rightarrow \rho = n_{1}m_{01}+n_{2}m_{02} \]

Переменные \[m_{01}\] и \[m_{02}\] — являются массами молекул одного и другого газа. Параметры \[ n_{1} \] и \[ n_{2} \] — это концентрации молекул одного и другого газа. Плотность газовой смеси обозначим \rho\].

Для первого газа, применяя полученные данные, выражаем концентрацию. Затем применяем выражение, описывающее идеальные газы:

\[ p = nkT \rightarrow n = \frac{p} {kT} \]

Подставляя в него полученное заранее решение можем вычислить преобразованную формулу. Затем, получаем, что для второго, а также первого газов их молярные массы нам уже даны, а значит не трудно выразить через них для обоих молекулярные массы. Учитывая, что газовая смесь, согласно заданию, находится под давлением окружающей среды 1 атмосфер, а температура определена как 290 К°, у нас есть все данные, чтобы для первого из газов определить концентрацию. При этом имеем:

\[ n_{1} = \frac{\rho-\frac{p} {kT}m_{02}} {m_{01}-m_{02}}\], где \[m_{01} = \frac{\mu_{1}} {N_{A}}, m_{02} = \frac{\mu_{2}} {N_{A}} \]

Ответ. \[\frac{\mu_{2}} {N_{A}} \]