Период пружинного маятника, теория и онлайн калькуляторы
Период пружинного маятника
Определение и основные понятия пружинного маятника
Одной из самых простых систем, в которой можно возбудить механические колебания является система, состоящая из пружины, с коэффициентом упругости $k$, на которой подвешен груз с массой $m$. Пусть система расположена вертикально. На груз действуют сила упругости и сила тяжести, если систему вывести из состояния равновесия и предоставить самой себе, то груз будет совершать колебания. Массу пружины считаем малой в сравнении с массой груза, поэтому ее не будем учитывать при рассмотрении колебаний.
Рассмотрим движение груза, направив ось координат X вдоль оси пружины. Уравнение колебаний груза пружинного маятника принимает вид:
\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(1\right),\]
где $x$ - смещение груза из положения равновесия; ${\omega }^2_0=\frac{k}{m}$ - циклическая частота колебаний. Решение уравнения (1) - это функция вида:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }\left(2\right),\]
где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ - амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi )$ - фаза колебаний; $\varphi $ - начальная фаза колебаний.
Период колебаний пружинного маятника
Косинус является периодической функцией, следовательно, смещение $x$ будет принимать одинаковые значения через определенные
одинаковые промежутки времени, которые называются периодом колебаний. Его обозначают буквой.
Другая величина, характеризующая колебания, это величина обратная периоду колебаний, называемая частотой ($\nu $):
\[T=\frac{1}{\nu }\left(3\right).\]
Период связан с циклической частотой колебаний как:
\[T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\left(4\right).\]
Для пружинного маятника ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, следовательно, период колебаний пружинного маятника равен:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\ \left(5\right).\]
Формула (5), говорит о том, что период колебаний пружинного маятника пропорционален квадратному корню от массы груза, подвешенного к пружине, обратно пропорционален квадратному корню от коэффициента упругости пружины, и не зависит от амплитуды колебаний (A). Это свойство колебаний называется изохронностью. Изохронность реализуется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, и появляется зависимость периода колебаний от амплитуды. Следует сказать, что выражение (5) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедливо при малых колебаниях.
Единица измерения периода это единицы времени, в Международной системе единиц это секунды:
\[\left[T\right]=с.\]
Примеры задач на колебания пружинного маятника
Пример 1
Задание: Пружинный маятник совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени смещение его равно $x\left(t'\right)=5$ см, ускорение $\ddot{x}\left(t'\right)=-80\frac{см}{с^2}$. Каков период колебания этого маятника?
Решение: Период колебаний для нашего маятника будем находить, используя выражение:
\[T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\left(1.1\right).\]
Уравнением гармонических колебаний пружинного маятника считаем выражение:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }\ \left(1.2\right).\]
В некоторый момент времени $t'$ по условию задачи:
\[x\left(t'\right)=5=A{\cos \left({\omega }_0t'+\varphi \right)\ \left(см\right).\ }\]
Скорость колебаний груза на пружине из (1.1) найдем как:
\[\dot{x}=\frac{dx}{dt}=-A{\omega }_0{\sin \left({\omega }_0t+\varphi \right)\left(1.3\right).\ }\]
Ускорение груза вычисляют:
\[\ddot{x}\left(t\right)=-{\omega }^2_0A{cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)=-{\omega }^2_0\ }\ x(t)\left(1.4\right).\]
Для момента времени $t'$ ускорение по условию равно:
\[\ddot{x}\left(t'\right)=-{\omega }^2_0x\left(t'\right)=-{\omega }^2_0\cdot 5=-80\ \left(\frac{м}{с^2}\right)\to {\omega }^2_0=16\to {\omega }_0=4(\frac{рад}{с}).\]
Зная циклическую частоту, получим в соответствии с (1.1) период равным:
\[T=\frac{2\pi }{4}\approx 1,57\ \left(с\right).\]
Ответ: Т=1,57 с
Пример 2
Задание: Груз, имеющий массу $m=0,25$ кг, подвесили к пружине, и заставили совершать колебания по вертикали (рис.1). Период колебаний составляет $T=1$ c. Какова при этом жесткость пружины?
Решение: Сделаем рисунок.
Будем считать, что груз, подвешенный к пружине в нашей задаче, совершает малые гармонические колебания. Тогда период его колебаний груза определяют как:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\ \left(2.1\right).\]
Из этой формулы найдем коэффициент упругости пружины:
\[k=\frac{4{\pi }^2m}{T^2}.\]
Вычислим жесткость пружины:
\[k=\frac{4{\pi }^2\cdot 0,25}{1^2}\approx 9,9\ (\frac{Н}{м}).\]
Ответ: $k\approx 9,9\frac{Н}{м}$
Читать дальше: плавание тел.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 451 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
